《选修21苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.2二 Word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《选修21苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.2二 Word版含答案（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019-2020学年苏教版数学精品资料3.2.2空间线面关系的判定(二)垂直关系学习目标1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系知识点一向量法判断线线垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lmab0a1b1a2b2a3b30.知识点二向量法判断线面垂直思考若直线l的方向向量为1，平面的法向量为2，则直线l与平面的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案垂直，因为12，所以12，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面垂直判断直线与
2、平面的位置关系的方法：(1)直线l的方向向量与平面的法向量共线l. (2)直线的方向向量与平面的法向量垂直直线与平面平行或直线在平面内(3)直线l的方向向量与平面内的两相交直线的方向向量垂直l.梳理设直线l的方向向量a(a1，b1，c1)，平面的法向量(a2，b2，c2)，则laak(kR)知识点三向量法判断面面垂直思考平面，的法向量分别为1(x1，y1，z1)，2(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面，垂直的关系式是什么？答案x1x2y1y2z1z20.梳理若平面的法向量为(a1，b1，c1)，平面的法向量为(a2，b2，c2)，则0a1a2b1b2c1c20.已知点P是平行四边形AB
3、CD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)判断下面结论的对错：1APAB；()2APAD.()3.是平面ABCD的法向量()4.()类型一证明线线垂直例1如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1.求证：AB1MN.证明设AB的中点为O，连结OC，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A，B，C，N，B1，M为BC的中点，M.，(1,0,1)，00.，AB1MN.反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直
4、角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直跟踪训练1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，求证：ACBC1.证明直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，ACBC，AC，BC，C1C两两垂直如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，(3,0,0)，(0，4,4)，0，ACBC1.类型二证明线面垂直例2如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点求证：EF平面B1AC
5、.证明方法一设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)(1,1,2)(2,2,1)(1，1，1)(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)，(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0)而(1，1,1)(0,2,2)(1)0(1)2120.(1，1,1)(2,2,0)2200，EFAB1，EFAC.又AB1ACA，AB1平面B1AC，AC平面B1AC，EF平面B1AC.方法二设a，c，b，则()()()(abc)，ab，(abc)(ab)(b2a2ca
6、cb)(|b|2|a|200)0.，即EFAB1，同理，EFB1C.又AB1B1CB1，AB1平面B1AC，B1C平面B1AC，EF平面B1AC.反思与感悟用向量法证明线面垂直的方法及步骤(1)基向量法：设出基向量，然后表示直线的方向向量；找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示；利用数量积计算(2)坐标法：建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示；求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行跟踪训练2如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点求证：直线PB1平面PAC.
7、证明如图，以D为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，(1,0，1)，(0,1，1)，(1,1,1)，(0，1，2)，(1,0，2)(1,1,1)(1,0，1)0，所以，即PB1PC.又(1,1,1)(0,1，1)0，所以，即PB1PA.又PAPCP，PA，PC平面PAC，所以PB1平面PAC.类型三证明面面垂直例3在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBC，ABBC2，AA11，E为BB1的中点，求证：平面AEC1平面AA1C1C.证明由题意知直线AB，BC，B1B两两
8、垂直，以点B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，故(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，.设平面AA1C1C的法向量为n1(x，y，z)，则即令x1，得y1，故n1(1,1,0)设平面AEC1的法向量为n2(a，b，c)，则即令c4，得a1，b1，故n2(1，1,4)因为n1n2111(1)040，所以n1n2.所以平面AEC1平面AA1C1C.反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明(2)向
9、量法：证明两个平面的法向量互相垂直跟踪训练3如图，底面ABCD是正方形，AS平面ABCD，且ASAB，E是SC的中点求证：平面BDE平面ABCD.证明设ABBCCDDAAS1，以A为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E，连结AC，设AC与BD相交于点O，连结OE，则点O的坐标为.因为(0,0,1)，所以，所以.又因为AS平面ABCD，所以OE平面ABCD，又OE平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.1若直线l1的方向向量为a(2，4,4)，l2的方向向量为b(4,6,4)，
10、则l1与l2的位置关系是_(填“平行”“垂直”)答案垂直解析因为ab24(4)6440，所以l1l2.2若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为(2,0，4)，则l与的位置关系是_(填“平行”“垂直”)答案垂直解析a，l.3平面的一个法向量为m(1,2,0)，平面的一个法向量为n(2，1,0)，则平面与平面的位置关系是_(填“平行”“垂直”)答案垂直解析(1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面垂直4已知平面与平面垂直，若平面与平面的法向量分别为(1,0,5)，(t,5,1)，则t的值为_答案5解析平面与平面垂直，平面的法向量与平面的法向量垂直，0，即(1)t0551
11、0，解得t5.5在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则下列等式中可能不成立的是_(填序号)；.答案解析由题意知PA平面ABCD，所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD平面PAC，故PCBD，正确证明垂直问题的方法：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：证明两
12、平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可一、填空题1设直线l1，l2的方向向量分别为a(2,2,1)，b(3，2，m)，若l1l2，则m_.答案10解析因为ab，故ab0，即232(2)m0，解得m10.2若平面，的法向量分别为a(1,2,4)，b(x，1，2)，并且，则x的值为_答案10解析因为，则它们的法向量也互相垂直，所以ab(1,2,4)(x，1，2)0，解得x10.3已知直线l的方向向量为e(1,1,2)，平面的法向量为n(R)若l，则实数的值为_答案解析l，en，.4已知点A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(
13、2,1,1)，P(x,0，z)，若PA平面ABC，则点P的坐标为_答案(1,0,2)解析由题意知(1，1，1)，(2,0,1)，(x，1，z)，又PA平面ABC，所以有(1，1，1)(x，1，z)0，得x1z0，(2,0,1)(x，1，z)0，得2xz0，联立得x1，z2，故点P的坐标为(1,0,2)5在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则下列结论成立的是_(填序号)CEBD；A1C1BD；ADBC1；CDBE.答案解析以D点为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0，1,0)，D(0,0,0)，A1(1,
