《点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆0中，假设直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，那么.证明：设M、N两点的坐标分别为、，那么有，得又同理可证，在椭圆0中，假设直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，那么.典题妙解例1 设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，点N的坐标为.当绕点M旋转时，求：1动点P的轨迹方程；2的最大值和最小值.解：1设动点P的坐标为.由平行四边形法那么可知：点P是弦AB的中点 .焦点在y上，假设直线的斜率存在.由得：整理，得：当直线的斜率不存在时，弦AB的中点P为坐标
2、原点，也满足方程。所求的轨迹方程为2配方，得：当时，；当时，例2 在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q.1求的取值围；2设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求的取值围；如果不存在，请说明理由.解：1直线的方程为由得：直线与椭圆有两个不同的交点，0.解之得：或.的取值围是.2在椭圆中，焦点在轴上，设弦PQ的中点为，那么由平行四边形法那么可知：与共线，与共线.，从而由得：，由1可知时，直线与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数.例3椭圆0的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为.() 求椭圆的标准方程；() 过点的
3、直线与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线的方程.解：根据题意，得.所求的椭圆方程为.椭圆的焦点为、. 设直线被椭圆所截的弦MN的中点为.由平行四边形法那么知：.由得：.假设直线的斜率不存在，那么轴，这时点P与重合，与题设相矛盾，故直线的斜率存在.由得：代入，得整理，得：.解之得：，或.由可知，不合题意.，从而.所求的直线方程为，或.例4 椭圆0的离心率为，过右焦点F的直线与C相交于A、B两点. 当的斜率为1时，坐标原点O到的距离为.1求的值；2C上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？假设存在，求出所有点P的坐标与的方程；假设不存在，说明理由.解：1椭圆的右焦点为，直线的斜率为1时，
4、那么其方程为，即. 原点O到的距离：，.又，. 从而.，.2椭圆的方程为.设弦AB的中点为. 由可知，点Q是线段OP的中点，点P的坐标为.假设直线的斜率不存在，那么轴，这时点Q与重合，点P不在椭圆上，故直线的斜率存在.由得：.由和解得：.当时，点P的坐标为，直线的方程为；当时，点P的坐标为，直线的方程为.金指点睛1. 椭圆，那么以为中点的弦的长度为 A. B. C. D. 2.06椭圆0的右焦点为，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点.1求点P的轨迹H的方程；2略.3051求右焦点坐标是且过点的椭圆的标准方程；2椭圆C的方程为0.设斜率为的直线，交椭圆C于A
5、、B两点，AB的中点为M. 证明：当直线平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；3略.4. (05)设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.1确定的取值围，并求直线AB的方程；2略.5. 椭圆C的中心在原点，并以双曲线的焦点为焦点，以抛物线的准线为其中一条准线.1求椭圆C的方程；2设直线与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线对称，求的值.参考答案1. 解：由得，.弦MN的中点，由得，直线MN的方程为.即. 由得：.设，那么.故答案选C.2. 解：1设点P的坐标为，由得：，整理，得：.点P的轨迹H的方程为.3解：1右焦点坐标是，左焦点坐标
6、是. .由椭圆的第一定义知，.所求椭圆的标准方程为.2设点M的坐标为，由得：，整理得：.a、b、k为定值，当直线平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.4. 解：1点在椭圆，即12.的取值围是.由得，焦点在y轴上.假设直线AB的斜率不存在，那么直线AB轴，根据椭圆的对称性，线段AB的中点N在x轴上，不合题意，故直线AB的斜率存在.由得：，.所求直线AB的方程为，即.从而线段AB的垂直平分线CD的方程为，即.5. 解：1在双曲线中，焦点为.在抛物线中，准线为.在椭圆中，. 从而所求椭圆C的方程为.2设弦AB的中点为，那么点P是直线与直线的交点，且直线. .由得：，.由得：.由、得：.又，即.在中，当时，即直线经过定点.而定点在椭圆的部，故直线与椭圆一定相交于两个不同的交点.的值为. z.
