《函数与导数专题分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数与导数专题分析（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数与导数专题分析 漳州普教室 许耀德函数与导数专题，是中学数学中最重要的主干知识，其观点及其思想方法，贯穿整个高中数学教学的全过程，是历年来高考考查力度最大的主干知识。考纲对本专题的考查内容及要求除了理科多了“能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数”及“.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。.了解微积分的基本定理的含义。”外，其余要求文理两科相同。因此，从考纲要求来讲，理科要求高于文科要求。历年来高考对本专题考查涉及到所有题型（选择，填空，解答）。除了单独考查函数与导数的题目外，往往在每个题目上涉及函数与其他内容的综合考查。在解答题方面，函数
2、与导数往往作为压轴题出现。因此本专题的高考复习必须给予足够的重视。一.2010年高考“课标卷”对本专题的考查情况 1在2010年高考中，全国“课标卷”对本专题知识点考查情况如下：函数概念及新定义概念被考查频率为6；函数图象被考查频率为11；单调性被考查频率为20；奇偶性被考查频率为6；指数函数被考查频率为18；对数函数被考查频率为20；幂函数为9；一次函数为7；二次函数为19；反比例函数为4；函数与方程为9；函数模型应用为5；导数几何意义为8；导数的应用为22；导数的运算为3；定积分为4。与本专题联合考查的其他专题的主要知识点情况如下：与逻辑用语联合考查频率为6；数列为3；不等式解法为10；不
3、等式证明为15，曲线的切线方程为8；图形的平移与对称为6；合情推理为2；三角函数与向量为3；几何概型与随机模拟实验为1。从这些数据不难看出，本专题几乎所有知识都被考查到。重点考查内容有：指.对数函数，幂函数，二次函数，单调性，导数的应用。被联合考查的其他专题的知识点主要有：逻辑用语，数列，不等式解法及证明，解析几何中的曲线的切线方程，定值问题，图形平移与对称，合情推理，三角函数与向量，几何概型与随机实验等。其中重点是不等式，尤其是不等式的恒成立问题时参数取值范围及最值问题。考题注重函数与导数的综合应用，在数学思想方法上作较深入的考查。涉及的基本数学方法有：建模法，消元法，代入法，图象法， 坐标
4、法，比较法，配方法，待定系数法，公式法，换元法，因式分解，平移等。涉及的主要数学思想有函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，分类与整合思想，整体思想，极端化思想，建模思想。在每套“课标卷”中，有关本专题内容试题所占比重都较大。一般在24分的分值左右，如果含联合考查知识点，一般都在50分左右，如我省理科2010年卷，本专题内容有2道选择+1道填空+1道解答，分值28分，如果含联合考查知识点有51分。二、主要题型分析例1（2010福建理4）函数 的零点个数为（ ） A、0B、1C、2D、3分析：作出的图象示意图，立马选C例2（2010福建理10）对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数 （
5、为常数），对位给的正数m，存在相应的,使得当，且时总有，则称直线：为曲线与的“分渐近线”。给的定义域均为的四组函数如下：1、 2、3、 4、其中曲线与存在“分渐近线”的是A、 B、 C、 D、 分析：题目条件涵义是： 必须满足且其中 注意到： ，满足要求 ， 满足要求，故选C例3（2010福建理15）已知定义域（0，）的函数满足：对任意恒有成立，当时，给出如下结论：对任意，有；函数的值域为，存在，“函数”的充要条件是“存在”其中所有正确结论的序号是 。分析：由，易得，从而知除不正确外，其余均正确。例4（2010 全国课标卷理13）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先
6、产生两组（每组N个）区间0，1上的均匀随机数和由此得到N个点（）（=1，2，N），在数为其中满足的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 分析：的意义。为计算由曲线，由x=0，x=1及x轴围成的曲边形的面积，此面积含于正方形中，根据几何概型含义得，即。例5、（2010江苏20）设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质.(1)设函数，其中为实数求证：函数具有性质求函数的单调区间(2)已知函数具有性质，给定，且，若|,求的取值范围分析：（1），显然具有性质P（b）。 求的零点，自然得到讨论b：三种情况。（2）由条件，易知，故在上单调递增
7、。又，当时，若，则g(a)g(x1)g(x2)g(x2)-g(x1)0,不符题意。所以，即解得m0，所以，综上m取值范围是（0，评：（2）问中解题关键是讨论、是在区间（x1，x2）外与内的问题。例6（2010福建理20）（）已知函数，.（i）求函数的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线所围成封闭图形的面积分别记为则为定值；（）对于一般的三次函数请给出类似于（）（ii）的正确命题，并予以证明.分析：（）的（i）简单而常规，易得增区间为（）和（），单调减区间为（）。（ii）由于均为曲边形面积，必须用定积分求解，所
8、以由C在点的切线方程，联立C的方程求得 ，进而，用代替，重复上述计算过程，就得到，所以。（）注意到（）（ii）中条件非零意指点不能取的对称中心（即拐点），故类比时也应不能取对称中心。令，得，故类比命题为：若对作意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点P2处的切线交于另一点，线段P1P2，P2P3与曲线所围成封闭图形的面积分别记为，则为定值。证明方法可用类似（）（ii）的计算，也可先平称、对称中心为原点，再计算。评注：本题的I(ii)及(II)的要求有超纲之嫌。理由如下：定积分的考查要求仅在了解层次，了解定积分的实际背景，基本思想，定积分的概念，微积分基本定理的含义，对积分运
9、算并未涉及，而I(ii)的考查对定积分运算上，下限均带参数，且必须先通过计算两参数关系才可能得到结果，大大超过考纲，省考试说明的要求。在(II)的类比推理中，对学生而言如何想到，（即三次曲线对称中心）这与我省教学实际不符。在考纲及省考试说明中均未见要求三次函数曲线的对称中心。故（II）也有超纲要求。三本专题的复习建设从一，二分析，我们可看出，本专题是一个极其重要内容。在高考试卷，一般三种题型均有出现。所占的比例也比较大。我们建议在本专题复习中，应该注意如下几个方面：1.对函数概念的复习要“到位而不越位”，求函数的解析式，定义域，零点，值域，一般出现在客观题中，属于中、低档题，因此复习时不宜拓展
10、。特别是反函数问题。考纲及说明仅对同底指，对数函数关系提出这个概念。没有给出一般意义的反函数定义，故不宜拓宽要求。2.对基本函数与函数性质的复习要全面而突出重点。并注重横向联系。历年来高考中考查对函数知识的应用。既着眼于知识点的新颖巧妙组合，又关注对数学思想方法的考查。试题多数围绕函数的概念，性质，图象等方面命题。围绕二次函数，分段函数，指.对数函数等几个基本函数来进行，故在复习中，应该全面夯实基础，突出对上面所讲重点内容的复习。另外，对函数性质单调性，奇偶性，周期性和图象对称性等内容的考查，多以组合形式，一题多角度考查，尤其是利用导数解决函数的单调性与极值，最值问题，不等式问题，函数与方程的
11、联系等重点考点。考查力度还有可能加大。而函数题的综合趋势几乎涉及所有模块，但重点还是在与不等式综合。在解答题中，对函数性质的考查要求有所提高，尤其涉及到分类讨论，数形结合等高等数学的观点。思维层次要求较高。因此在复习中例题的选择及训练题的配备一定要放在学科整体高度上把握函数及其他模块知识的横向关系。3.对所谓创新题关键在阅读理解。如2010年福建理10。如果题目条件的涵义搞清楚了，问题显得十分简单。要重视合情推理及类别迁移能力的提升。4.注重强化解决函数问题的相关数学思想方法的训练。在函数的高考试题中，很多试题如果应用数形结合思想求解将是十分简捷的。因此，几种重要的数学思想方法（数形结合，函数与方程思想，分类讨论，转化与化归思想，特殊与一般）在本专题复习中表现在与其他模块知识的综合解答中，故一定要加以重视。
