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1、5.6.证明：(1).如果是对称正定矩阵,则也是对称正定矩阵(2).如果是对称正定矩阵,则可以唯一地写成,其中是具有正对角元的下三角矩阵。证明：(1).因是对称正定矩阵,故其特征值皆大于,因此的特征值也皆大于。因此也皆大于,故是可逆的。又则也是对称正定矩阵。(2).由是对称正定,故它的所有顺序主子阵均不为零,从而有唯一的杜利特尔分解。又其中为对角矩阵,为上三角矩阵,于是由的对称性,得由分解的唯一性得从而由的对称正定性,如果设表示的各阶顺序主子式,则有,故因此,其中为对角元素为正的下三角矩阵。5.7.用列主元消去法解线性方程组并求出系数矩阵的行列式(即)的值。解所以解为,。5.9.用追赶法解三对
2、角方程组,其中,。解 设有分解,由公式其中,分别是系数矩阵的主对角元素及其下边和上边的次对角线元素。具体计算,可得,。由,得,；再由,得,。5.11.下述矩阵能否分解为(其中为单位下三角矩阵,为上三角矩阵)？若能分解,那么分解是否唯一？,。解 中,故不能分解。但由于,所以若交换的第1行与第3行,则可以分解且分解是唯一的。在中,故不能分解。但可以分解为,其中,为任意常数,且奇异,故分解不唯一。对于,故可以分解且分解唯一。5.13.求证：(1).；(2).。证明 (1).由定义知故。(2).由范数定义,有又所以。5.14.设且非奇异,又设为上一向量范数,定义试证明是上向量的一种范数。证明 只需证明满足向量范数的三个条件。(1).因非奇异,故对任意,有,故,当且仅当时,有。(2).对任意,有。(3).对任意,有,故是上的向量范数。5.15.设为对称正定矩阵,定义,试证明是上向量的一种范数。证明 只需证明满足向量范数的三个条件。(1).因正定对称,故当, ；而当时,。(2).对任意,有。(3).因正定,故有分解,因而对任意,由的三角不等式有,故是上的向量范数。知识改变命运 /
