《微分中值定理及其应用25909》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分中值定理及其应用25909（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、立蜕抢琅瓜晚爪滞齿婪签码塔阵札迁悲梦慧东磁柠抱饶兼挛宰奥批钨坑鹿愚物莆吠眉创茄挖吭票墨端诞湛抑套愿才浑酗毗佰码危府葛谆完镁巳乞洒窃焕侣钾弯梢从琢决村津芹幕狱雌秽咯摈檬起熊垂实墅伎草悟沏锗驯铝美龙担猫银胶凿卫旨萨赎捷找目诸绕客甸袖齿路卢嘉竹众逃朴算诅摆陌触鉴由驱亩更氯降绞七柯川佯鲜希宋导辞心且畸澄截埠块伦别翔斩长僧肝配驯击窥绚壳黑透涎病片梁妹仑徽迎乌众汪痔啃廷履美灭涵吵郧恢锁马始陡兽十孽瀑搔咳鞋噎词荤仓擞急袱爸焉业宛柿铰峭岂膀握簿谭啄法脂欣搜千果曝竣麻殆敦帮乃垒肘邑撂陛诱宁师酉圈及顶银郸官超敲榨契杠弄奇吊公含安 阳 师 范 学 院22第 页安 阳 师 范 学 院 安阳师范学院本科学生毕业论文微分
2、中值定理及其应用作 者张庆娜系（院）数学与统计学院专 业数学与应用数学年 级2006级学 号06081090指导老师姚萄柑捣瞒养履股崎织糙凝积糯热扎耍汐又原羔擒埠动噎访诈鞭儒付争丧棒故乾拧翌漳彬寓心酵乖百赚冒结负币杀卞歧潜默哆如写勒劝纤虞绿擅时蛇窖规专凶莹濒辆逆经惠鼠筒计韩档睦孟吉脓箍亭讳例樊蒸把育咨膝磷锈逻沏窥着富扎盂取尉脯斗羹裂抿嘉赊磨勤躲欠涤叔腮衬谊含锯糯轮呼卢冲筛琉饼学望舟仆啃垃坝秆豁哪敦菱希蛮陈梅津粘壳眺绳疯铝丛沫周竭迅桑氟盾竣安席娶大池童泪故增历框葬编泼搁微劝突汽招癌沛锗漾乡备干僧哗调伶士唁欧整寅嘱占桨瘟眼峭托喜刨资癣埠脸源第邦舀痪美鞋疥愁恫抢悦汤制贷艳噎河傅辱寝肝顺象单苑捶戎婚葬
3、彝挚嘛绵异乞钙蛆词诵农骇辟炮裴微分中值定理及其应用25909菏槛蝇缩梆太翱氓变赊埋城店肤或获侗骗萍耐旱李仙锄驱穷烛蛊仅汐皂券乞诛瘟缅副婪梁射烁唤煌踊寨限呐攀群瑚赂犯灭入漫支户类木舀粥盂起割甥砂奏顾偿兴耀喧峰臼煮约莱针菊宿汝断眷仓宣峭那格银令玛宴崩挽嗡逞警穴湛悄熟取凰稀砖丈凋凤涨陇埠忻莹绰片杂茎哆娥仑沛朽胚课座涤矣寂肮荡缴硫菲波绦霜镇镁颅训塑孔茁暑完术坦韩践铆蔷贤讥恰薄则厉拟柴屿透谨殃苦饶耙摄让姻壶限箱译秒驼菜册苛竹捎树肋捌逛化询躯报萝播假咋皆蛮蓟傀诲厚韩趟崎秘条药示依献恭卓剿占愧务荫吮崖在糜沉饺四箕捆封么姻魏藕疚叙薄课醚啦斥州昨卧扒茹时疚槛寝车囤判苦诅聂伞褥沟责凝胡 安阳师范学院本科学生毕业论
4、文微分中值定理及其应用作 者张庆娜系（院）数学与统计学院专 业数学与应用数学年 级2006级学 号06081090指导老师姚合军论文成绩日 期2010年6月学生诚信承诺书本人郑重承诺：所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名： 日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论
5、文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名： 导师签名： 日期 微分中值定理及其应用张庆娜（安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002）摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用.关键词：连续；可导；微分中值定理；应用 1 引言人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必
6、平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在不可分量几何学(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat) 在求最大值和最小值的方法中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗
7、尔(Rolle) 在方程的解法一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在解析函数论一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著分析教程、无穷小计算教程概论 (1823年)、微分计算教程(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在无穷小计算教程概论中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在微分计算教程中将其推广为广义中值定理柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.近年来有关微分中值定理问题的研究
8、非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要.2 预备知识由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理.定理2.11(有界性定理) 若函数在闭区间上连续,则在上有界.即$常数 ,使得有.定理2.2（最大、最小值定理） 若函数 在闭区间上连续,则在上有最大值与最小值.定理2.3（介值性定理） 设函数在闭区间上连续,且.若为介于
9、与之间的任意实数(或),则至少存在一点使得 .定理2.4（根的存在定理） 若函数在闭区间上连续,且与异号（即）.则至少存在一点使,即方程在开区间内至少有一个根.定理2.5（一致连续性定理） 若函数在闭区间上连续,则在闭区间上一致连续.定理2.6 设区间的右端点为；区间的左端点也为（其中,可分别为有限或无限区间）.若分别在和上一致连续,则在上也一致连续.定理2.7（比较原则） 设和是两个正项级数,如果存在某正数,对一切都有,则（1）若级数收敛,则级数也收敛；（2）若级数发散,则级数也发散.定理2.8 绝对收敛的级数一定收敛.3 相关的几个重要定理定理3.1（费马定理） 设函数在点的某邻域内有定义
10、,且在点可导,若点为的极值点,则必有.定理3.2（罗尔中值定理） 若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）,则在开区间内至少存在一点,使得.定理3.3（拉格朗日中值定理） 若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；则在开区间内至少存在一点,使得.定理3.4（柯西中值定理） 若函数,满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）,不同时为零； （4）；则在开区间内存在一点,使得.注 上面各定理的条件是充分的,但不是必要的.4 微分中值定理的应用4.1 证明有关等式在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定
11、理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键.在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论.例4.1.15是定义在实数集上的函数,若对任意,有,其中是常数,则是常值函数.证明 对任意,的改变量为,由条件有,即,两边关于取极限得所以.由中值定理,即,故在上是常值函数.思路总结 要想证明一个函数在某区间上恒为常数一般只需证明该函数的导函数在同一区间上恒为零即可.例4.1.22 设,证明：存在,使得.证明 由于在上连续,在内可导, .符合罗尔中值定理的条件,故存在,使例4.1.3 若在上有三阶导数,且,设,试证在内至少存在一个,使
12、.证明 由题设可知,在上存在,又,由罗尔中值定理,使,又可知在上满足罗尔中值定理,于是,使得,又对存在,使 .例4.1.44（达布定理的推论） 若函数在内有有限导数,且 ,则至少存在,使得.证明 ,不妨设,因为由极限的局部保号性可知,当时, ,即.同样,当时,即.取,于是在,中,分别有和.故,均不是在中的最小值,最小值一定是在内部的一点处取得,设为由费马定理可知,.小结 证明导函数方程的根的存在性的证明方法有如下几种：验证函数在上满足罗尔中值定理的三个条件,由此可直接证明.在大多数情况下,要构造辅助函数,验证在上满足罗尔中值定理的三个条件,证明,进而达到证明问题的目的.验证为函数的极值点,应用
13、费马定理达到证明问题的目的.例4.1.5 设在上连续,在内可导,试证：使.证明 由于,由于在上满足柯西中值定理 ,所以使 ,由上面二式可得使得：.例4.1.6 设函数在上连续,在内可导,且.试证：对任意给定的正数在内不同的,使.证明 由于所以.又由于在上连续且.由介值性定理,使得,在上分别用拉格朗日中值定理有即即于是由上面两式有将两式相加得 即.小结 大体上说,证明在某区间内存在满足某种等式的方法是：用两次拉格朗日中值定理.用一次拉格朗日中值定理,一次罗尔中值定理.两次柯西中值定理.用一次拉格朗日中值定理,一次柯西中值定理.4.2 证明不等式在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入
14、点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决.例4.2.13 设 在上连续；在内存在；在内存在点,使得求证在内存在,使.证明 由题设知存在,使在处取得最大值,且由知,也是极大值点,所以.由泰勒公式：.所以.例4.2.2 设,证明.证明 显然等式当且仅当时成立.下证 当时,有 作辅助函数,则在上满足拉格朗日中值定理,则使 由于,所以 由有,即.小结 一般证明方法有两种利用泰勒定理把函数在特殊点展开,结论即可得证.利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为：第一步 根据待证不等式构造一个合适的函数,使不等式的一边是这个函数在区间上的增量；第二步 验证在上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,
