《2018年湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）数学（理）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）数学（理）试题（解析版）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测（一）数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】=,又，所以故选A.2. 已知，其中为虚数单位，则（ ）A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B【解析】因为所以 故选B3. 已知等比数列是递增数列，是的前项和.若，则（ ）A. 31 B. 32 C. 63 D. 64【答案】C【解析】因为等比数列是递增数列，且，所以，又 所以. 故选C4. 如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，给
2、出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)。设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A. 134 B. 866 C. 300 D. 500【答案】A【解析】设大正方形的边长为，则根据直角三角形，其中一角为可得直角三角形短的直角边长为，长的直角边长为，即小正方形的边长为，则大正方形的面积为，小正方形的边长为，米粒落在小正方形内的概率为 落在黄色图形内的图钉数大约为1000 故选A5. 已知是定义在上的奇函数.当时，则不等式的解集用区间表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】
3、f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）=0设x0，则-x0，当x0时，f（x）=x2-x，f（-x）=x2+x，又f（-x）=x2+x=-f（x），f（x）=-x2-x，x0当x0时，由f（x）0得x2-x0，解得x1或x0（舍去），此时x1当x=0时，f（0）0不成立当x0时，由f（x）0得-x2-x0，解得-1x0综上x（-1，0）（1，+）故选D.6. 展开式中的系数为（ ）A. 10 B. 30 C. 45 D. 210【答案】B【解析】（-1-x+x2）10=（x2-x）-110的展开式的通项公式为，所以 或 ，故展开式中的系数为 故选B7. 某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格
4、的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】把三视图还原为几何体是：底面是等腰直角三角形的直三棱柱，侧棱长为2，底面三角形直角边为2，斜边为2，取前后面的斜边中点连线的中点为点，则O为该三棱柱外接球的球心，由此求得球的半径为，所以球的表面积为.故选C8. 已知表示不超过的最大整数，如.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. 450 B. 460 C. 495 D. 550【答案】B【解析】 所以输出的S为 故选B.9. 已知函数（为整数）的图像如图所示，则的值可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对于A：当时，故A错误；对于B：
5、当时，故B正确；对于C：当时， 故C错误；对于D：当时， 故D错误；利用排除法也知B正确；故选B10. 已知的图像关于点对称，且在区间上单调，则的值为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】的图像关于点对称， 解得，令kx+k，解得，kZ；f（x）在 上是单调减函数，f（x）在上单调， 又0，= 故选D11. 已知抛物线和圆，直线与依次相交于四点（其中），则的值为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A【解析】y2=4x，焦点F（1，0），准线 l0：x=-1由定义得：|AF|=xA+1，又|AF|=|AB|+1，|AB|=xA，同理：|CD|=xD，当lx轴时，则xD
6、=xA=1，|AB|CD|=1，当l：y=k（x-1）时，代入抛物线方程，得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，xAxD=1，则|AB|CD|=1综上所述，|AB|CD|=1，故选A点睛：本题主要考查抛物线的定义、一元二次方程的根与系数关系，考查学生的计算能力，属于中档题12. 已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，分别交于三点，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）A. B. 3 C. D. 4【答案】C【解析】建立直角坐标系如下： 点M在侧棱上，设M，点N在上，设，点在上，设，则 因为为直角三角形，所以，斜边 ，当时取等号.故答案
7、为.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知是边长为2的等边三角形，为边的中点，则_【答案】3【解析】E为等边三角形ABCBC的中点，BAE=30，AE=, 故答案为314. 已知实数满足，则的最大值为_【答案】4【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大由将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=22+0=4即z=2x+y的最大值为4故答案为415. 已知双曲线经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦
8、距等于该正方形的边长，则双曲线的离心率为_【答案】故答案为16. 如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数.则112在这“等差数阵”中出现的次数为_【答案】7【解析】该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：=4+3(j1)，第二行是首项为7，公差为5的等差数列：=7+5(j1)，第i行是首项为4+3(i1)，公差为2i+1的等差数列，因此=4+3(i1)+(2i+1)(j1)=112，可得 共7组解.故答案为7点睛：本题考查等差数列中某项出现次数的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文
9、字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，点在边上，且为锐角，的面积为4.（1）求的值；（2）求边的长.【答案】(1)；(2)4.【解析】试题分析：（1）利用三角形面积公式表示出三角形BCD面积，把BC，CD以及已知面积代入求出sinBCD的值，即可确定出cosBCD的值；（2）利用余弦定理列出关系式，把CD，BC，以及cosBCD的值代入求出DB的值，利用勾股定理的逆定理确定出三角形ACD为直角三角形，利用含直角三角形的性质求出AC的长即可试题解析：（1），.；（2）在中，由余弦定理得：，即，即为直角三角形，. 18. 如图,在几何体中，四边形为矩形，四边形为梯形,平面与平面垂直，且.（
10、1）求证：平面；（2）若,且平面与平面所成锐二面角的余弦值为,求的长.【答案】(1)证明见解析；(2)1.【解析】试题分析：（1）推导出CBBE，从而CB面BDE，进而CBED，再由EDAD，能证明ED平面ABCD；（2）以D为坐标原点，DA、DC、DE分别为x，y，z轴建立空间坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则，即，解得，即得 试题解析：（1)证明：因为平面与平面垂直且，平面与平面的交线为 所以面， 又面所以，在矩形中， 又四边形为梯形， 所以与相交，故平面 （2）由（1）知，垂直，垂直，又垂直，平行，所以垂直，如图，以为坐标原点，分别为轴建
11、立空间坐标系 又，所以，设 则 设平面的法向量为 ，令，则所以平面的法向量为易知，平面的法向量为，因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则，即，解得，即 19. 某协会对两家服务机构进行满意度调查，在两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组：，得到服务机构分数的频数分布表，服务机构分数的频率分布直方图：定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下:（1）在抽样的1000人中，求对服务机构评价“满意度指数”为0的人数；（2）从在两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对
12、服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由【答案】(1)200；(2)0.3；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由对B服务机构的频率分布直方图，得对B服务机构“满意度指数”为0的频率为0.2，由此能求出对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数;（2）设“对B服务机构评价满意度指数比对A服务机构评价满意度指数高”为事件C记“对B服务机构评价满意度指数为1”为事件B1；“对B服务机构评价满意度指数为2”为事件B2；“对A服务机构评价满意度指数为0”为事件A0；“对A服务机构评价满意度指数为1”为事件
13、A1P（C）=P（B1A0+B2A0+B2A1），由此能求出该学生对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率;（3）如果从学生对A，B两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看分别求出B服务机构“满意度指数”X的分布列和A服务机构“满意度指数”Y的分布列，由此能出结果试题解析：（1）由对服务机构的频率分布直方图，得对服务机构“满意度指数”为0的频率为，所以，对服务机构评价“满意度指数”为0的人数为人.（2）设“对服务机构评价满意度指数比对服务机构评价满意度指数高”为事件.记“对服务机构评价满意度指数为1”为事件；“对服务机构评价满意度指数为2” 为事件；“对服务
14、机构评价满意度指数为0”为事件；“对服务机构评价满意度指数为1”为事件.所以，由用频率估计概率得：，因为事件与相互独立，其中.所以所以该学生对服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率为 0.3 .（3）如果从学生对两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看：服务机构“满意度指数”的分布列为：服务机构“满意度指数”的分布列为:因为； ，所以，会选择服务机构.20. 已知椭圆与直线都经过点.直线与平行，且与椭圆交于两点，直线与轴分别交于两点.（1）求椭圆的方程； （2）证明：为等腰三角形.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）将点M分别代入直线方程及椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线m的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得kMA+
