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1、word必考问题14用空间向量法解决立体几何问题(2012某某)在如下列图的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求证：BD平面AED；(2)求二面角F BD C的余弦值(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，ADBD，又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.(2)解连接AC，由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x
2、轴，y轴，z轴，建立如下列图的空间直角坐标系，不妨设CB1，如此C(0,0,0)，B(0,1,0)，D，F(0,0,1)，因此，(0，1,1)设平面BDF的一个法向量为m(x，y，z)，如此m0，m0，所以xyz，取z1，如此m(，1,1)由于(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，如此cosm，所以二面角FBDC的余弦值为.对立体几何中的向量方法局部，主要以解答题的方式进展考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进展空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的
3、重要工具，首先要从定义入手，抓住实质，准确记忆向量的计算公式，注意向量与线面关系、线面角、面面角的准确转化；其次要从向量的根本运算入手，养成良好的运算习惯，确保运算的准确性.必备知识直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面、的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下一样)(1)线面平行laa0a1a3b1b3c1c30.(2)线面垂直laaka1ka3，b1kb3，c1kc3.(3)面面平行vva3a4，b3b4，c3c4.(4)面面垂直v0a3a4b3b4c3c40.空间角的计算(1)两条
4、异面直线所成角的求法设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，如此cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)(2)直线和平面所成角的求法如下列图，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，如此有sin |cos |.(3)二面角的求法利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如下列图，m，n即为所求二面角的平面角对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求如下列图，二面角l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1，n2，如此二面有l的大小为或.空间距离的计算直线到平面的距离，两平行平面的
5、距离均可转化为点到平面的距离点P到平面的距离，d(其中n为的法向量，M为内任一点)必备方法1空间角的X围(1)异面直线所成的角()：0；(2)直线与平面所成的角()：0；(3)二面角()：0.2用向量法证明平行、垂直问题的步骤：(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉与的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题3空间向量求角时考生易无视向量的夹角与所求角之间的关系：(1)求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦；(2)求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角
6、的补角，要注意从图中分析.多以多面体(特别是棱柱、棱锥)为载体，求证线线、线面、面面的平行或垂直，其中逻辑推理和向量计算各有千秋，逻辑推理要书写清晰，“充分地推出所求证(解)的结论；向量计算要步骤完整，“准确地算出所要求的结果【例1】 如下列图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.审题视点 听课记录审题视点 建系后，(1)在平面ABC内寻找一向量与共线；(2)在平面AEF内寻找两个不共线的向量与垂直证明如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，如此A(
7、0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)(1)取AB中点为N，连接，如此N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC.故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.，即B1FEF，B1FAF，又AFFEF，B1F平面AEF.(1)要证明线面平行，只需证明与平面ABC的法向量垂直；另一个思路如此是根据共面向量定理证明向量与相等(2)要证明线面垂直，只要证明与平面AEF的法向量平行即可；也可
8、根据线面垂直的判定定理证明，.【突破训练1】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点(1)求证：D1F平面ADE；(2)设正方形ADD1A1的中心为M，B1C1的中点为N，求证：MN平面ADE.证明(1)如图，不妨设正方体的棱长为1，以D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz，如此D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，F0，0，E1,1，(1,0,0)，0，1，(1,0,0)0，10.ADD1F.又0,1，0，1，0,1，0，10.AED1F.又AEADA，D1F平面ADE，D1F平面ADE.(2)M，0，N，1,1，0,1，.由(1)知，0，1是平
9、面ADE的法向量又00，MND1F.MN平面ADE，MN平面ADE.多以空间几何体、平面图形折叠成的空间几何体为载体，考查线线角、线面角的求法，正确科学地建立空间直角坐标系是解此类题的关键【例2】(2012全国理)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小审题视点 听课记录审题视点 (1)由可得FCEPCA，如此FEC90，易得PCEF、PCBD. (2)作AGPB于G，由二面角APBC为90，易得底面ABCD为正方形，可得AD面PBC，如
10、此点D到平面PCB的距离dAG，找出线面角求解即可也可利用法向量求解，思路更简单，但计算量比拟大法一(1)证明因为底面ABCD为菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.设ACBDF，连接EF.因为AC2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，FC，从而，.因为，FCEPCA，所以FCEPCA，FECPAC90，由此知PCEF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)解在平面PAB内过点A作AGPB，G为垂足因为二面角APBC为90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，
11、AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD为正方形，AD2，PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即dAG.设PD与平面PBC所成的角为，如此sin.所以PD与平面PBC所成的角为30.法二(1)证明以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如下列图的空间直角坐标系Axyz.C(2，0,0)，设D(，b,0)，其中b0，如此P(0,0,2)，E，0，B(，b,0)于是(2，0，2)，b，b，从而0，0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)解(0,0,2
12、)，(，b,0)设m(x，y，z)为平面PAB的法向量，如此m0，m0，即2z0且xby0，令xb，如此m(b，0)设n(p，q，r)为平面PBC的法向量，如此n0，n0，即2p2r0且bqr0，令p1，如此r，q，n1，.因为面PAB面PBC，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)cosn，n，60.因为PD与平面PBC所成角和n，互余，故PD与平面PBC所成的角为30.(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进展论证、计算；转化为几何结论(2)求直线与平面所成的角，主要通过直线的方向向量与平面的法向量的
13、夹角求得，即sin |cos |.【突破训练2】 (2011某某)如图，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)设E为BC的中点，求A与D夹角的余弦值(1)证明折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD，AD平面BDC.AD平面ABD，平面ADB平面BDC.(2)解由BDC90与(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|1，以D为坐标原点，以D，D，D所在直线分别为x，y，z轴建立如下列图的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E，A，D(1,0,0)，A与D夹角的余弦值为cosA，D.用空间向量法求二面角的大小是高考的热点考查空间向量的应用以与运算能力，题目难度为中等【例3】(2012某某改编)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明：PCA
