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1、 。混料试验设计The Design of Mixture Experiments主要参考文献：1、 栾军. 现代试验设计优化方法. 上海：上海交通大学出版社，19952、 茆诗松等. 回归分析及其试验设计. 上海：华东师范大学出版社, 1981一、 混料问题与混料试验 (栾军, 1995；茆诗松 等, 1981)日常生活中和工业生产上经常遇到配方配比一类的问题，即所谓混料问题。这里所说的混料是指由若干不同成分的元素混合形成一种新的物品。由不同成分组成的钢、铁、铝、药方、饲料以及燃料等都是混料，某些分配问题，如企业的材料、资金、设备和人员等的分配也可看着混料问题。混料试验就是通过实物试验或非实
2、物试验，考察各种混料成分与试验指标之间的关系。例如，人们吃的糕点是将面粉、水、油、糖发酵及某些香料混合后经烘烤制成的，考察这些成分对糕点的柔软性、口味等试验指标的影响所进行的试验就是混料试验。应该指出，混料试验中的混料成分至少应有三种，并且混料成分中的不变成分不应作为混料成分。混料试验设计，不同于以前所介绍的各种试验设计。混料试验设计的试验指标只与每种成分的含量有关，而与混料的总量无关，且每种成分的比例必须是非负的，且在01之间变化，各种成分的含量之和必须等于1（即100%）。也就是说，各种成分不能完全自由地变化，受到一定条件的约束。设：y为试验指标，x是第i种成分的含量，则混料问题的约束条件
3、，即混料条件为： （1）其中xi称为混料成分或混料分量，即混料试验中的试验因素。混料试验设计是一种受特殊条件约束的回归设计，它是通过合理地安排混料试验，以求得各种线性或非线性回归方程的技术方法。它具有试验点数少、计算简便、容易分析、迅速得到最佳混料条件等优点。混料条件（1）决定了混料试验设计不能采用一般多项式作为回归模型，否则会由于混料条件的约束而引起信息矩阵的退化。混料试验设计常采用Scheff 多项式回归模型。例如，一般的三元二次回归方程为(2)而混料试验设计中，三分量二次回归方程应为(3)比较式（2）和式（3）可知，Scheff多项式没有常数项和平方项。这是因为，将约束条件代入式（2），
4、即可推导得到式（3）。通常，混料试验设计的p分量d次多项式回归方程，其Scheff多项式（或称为规范多项式）为一次式（d=1）：(4)二次式（d=2）：(5)三次式（d=3）：(6)式中为三次项的回归系数。由此看来，混料试验设计的 (p, d) Scheff 多项式回归方程中，待估计的回归系数的个数，比一般的p因素d次多项式回归方程要少。例如，对于混料试验设计（p, d）的回归方程式（5），无常数项和二次项。于是，减少了 p+1 个回归系数，所以至少可以少做 p+1 次试验。混料试验设计由 H. Scheff 于1958年首先提出，至今已有40多年。由于这种试验设计方法与工农业生产及科学试验有
5、密切的关系，所以无论在理论研究中，还是实际应用中都有了很大的发展。在工业试验方面，合金、混凝土、陶瓷、油漆、混纺纤维、医药、食品等的配方和生产制造都广泛地应用混料试验设计方法。二、单（纯）形格子设计 （茆诗松等，1981；栾军，1995）1. 引言 （1）单（纯）形在混料试验设计方法中，单纯形格子设计是最早出现的，是Scheff 于1958年提出的。它是混料试验设计中最基本的方法，其它一些方法都要用到单纯形格子设计。在混料问题中，各分量 xi (i=1, 2, , p) 的变化范围受混料条件式（1）的制约。在几何上，称为p维平面，而（x1, x2, , xp）为p维平面上点的坐标。在p维平面上
6、满足 的区域构成一个图形称为单形（或单纯形）。单形上的点，若其p个坐标中有一个坐标 xi=1 , 而其余的 p-1 个坐标 xj=0 (ji), 则这种点称为单形的顶点。因此，在p因子混料试验中，单形的顶点有p个。例如，p=3时，单形的三个顶点为（1，0，0）、（0，1，0）和（0，0，1）。所以单型的图形为一等边三角形，如图1（a）所示。（2）单形上点的坐标下面，以p=3为例讨论单形上点的坐标问题。对于三因子混料试验，这个试验的单形是一个等边三角形，其三个顶点分别为A（1，0，0）、B（0，1，0）和C（0，0，1）。x1设P（x1、x2、x3）为这单形的内点，定义x1表示P点到边BC的距离
7、，x2为P点到边AC的距离，x3为P点到边AB的距离。为简单起见，使用时不再画出三个坐标轴，只画出一个等边（正）三角形，如图1（b）所示。A(1, 0, 0)A(1, 0, 0)x3x2P(x1, x2, x3)ox1x3x2C(0, 0, 1)B(0, 1, 0)B(0, 1, 0)C(0, 0, 1)(a) (b)图1 p=3时的单形（x1+x2+x3 = 正三角形的高 = 1）取此等边（正）三角形的高为1，则由初等几何学可知，ABC内任一点P到三个边的距离之和为1，即 或 所以，三因子混料试验可以用等边三角形这样一个单形上的点表示。一般情况下，对p因子混料试验，其p个顶点分别为A1（1，
8、0，0，0）、A2（0，1，0，0）、 Ap（0，0，0，1）。设P（x1, x2, , xp）为单形的内点，定义x1，x2，xp分别表示P 点到A2Ap面的距离、A1A3Ap面的距离、A1Ap-1面的距离，并取p-1维空间内正多边形的高为1正多边形又称为正规单（纯）形。于是，我们就建立了p因子混料试验的单形坐标系。2. 单（纯）形格子点的概念对于由混料条件式（1）构成的正规单（纯）形因素空间，当采用式（5）、式（6）等完全型规范多项式回归模型时，试验点可以取在正规单（纯）形格子点上，构成单（纯）形格子设计。对于三因素（p=3时）的格子点集，其单（纯）形是一个高为1的等边三角形，它的三个顶点的
9、全体称为一阶格子点集，记为3，1，如图2（a）所示。 精选资料，欢迎下载x1 = 1x1 = 1x1 = 1x3 = 1x3 = 1x3 = 1x2 = 1x2 = 1x2 = 1 (a) 3, 1(b) 3, 2 (c) 3, 3图2 单（纯）形格子点分布图 将高为1的等边三角形的三条边各二等分，则该三角形的三个顶点与三条边的中点的全体称为二阶格子点集，记为3，2，如图2（b）所示。其中共有6个点，各点坐标如表1所示。将等边三角形的各边进行三等分，对应分点连成与各边平行的直线，在等边三角形上形成许多格子，则这些格子顶点的全体称为三阶格子点集，记为3，3，如图2（c）所示，其中共有10个点。各
10、点坐标如表2所示。表1 3，2各点坐标（三因素二阶格子点集坐标）点号坐 标x1x2x3 110020103001405060表2 3，3各点坐标（三因素三阶格子点集坐标）点号坐 标x1x2x311002010300140506070809010四因素二阶格子点集，记为4，2，其中共有10个点，各点坐标见表3。表3 4，2各点坐标（四因素二阶格子点集坐标）点号坐 标x1x2x3x4110002010030010400015006007008009001000一般情况下，p因素d阶格子点集记为p，d，其中p表示单（纯）形顶点的个数，d表示单（纯）形边长被等分的段数，并且总的点数为。3、单（纯）形格
11、子设计法Scheff提出的单（纯）形格子设计，具有以下两个特点：（1）、每个p，d设计所要做的试验次数为，恰好等于完全型规范多项式回归方程如式（5）、式（6）所示中的回归系数的个数。因而单（纯）形格子设计是饱和设计，是一种优化设计。代表试验的点对称地排列在单形上，构成单形的一个格子，称为p，d格子。每一点的p个坐标代表p个因素的成分值，它们加起来的和等于1；（2）、试验点的成分与模型的次数（或阶数）d有关，我们约定每一成分xi取值为的倍数，即。并且在设计中因素成分量的各种配合都使用到。单（纯）形格子设计的试验点数，与相应的完全型规范多项式回归方程的阶数（或次数）d的关系，见表4。表4 单（纯）
12、形格子设计的试验点数（）Pd234361015410203551535706215612683612033010552207154、回归系数的计算在单（纯）形格子设计中，每个回归系数的值只取决于所对应的一些格子上的观测值，而与其它设计点上的观测值无关，故使得用最小二乘法计算回归系数变得很简单。各回归系数均可表达为相应设计点上观测值的简单线性组合。例1 3，2单形格子设计 是三因素二次单形格子设计，即 p=3，d=2， 响应方程（又称Scheff多项式或规范多项式或正则多项式）为： 成分的取值0，1。此时单形格子设计及试验结果如表5所示。表5 单形格子3, 2设计及试验结果试验号x1x2x3观测值1100y12010y23001y340y450y560y6为了求出模型中系数的估计，可以通过把同一号的试验成分值分别代入上述模型中的x1、x2和x3，并把观测值yi代入对应的，这样便得到一组方程，解这组方程便可获得回归系数的估计值。将第1号试验（1，0，0）代入（x1，x2，x3），便得到 同理可得 ， 例2 4，2单形格子设计 p=4，d=2 未知参数的个数单形格子设计的试验点个数也是10。
