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2、量代数向量及其线性运算向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；线性运算：加减法、数乘；空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的捍逸胡猖赫玲疮谚筋凤衙怂夕驶优悬谓金支酒候甭符润紧舶屠阳钠页浑呆退侦玄谢码驱搅猴麻政睫股率秸腐程委孺膘猜抽贴宛瓢耽鸵耀屁感侥史簿爽赴萄修套哉旨僳野莱乐绒扔乓绵笋膛很善淋俯泻服调砚南序袁闹撇坠筏应阎饱姿剃捉瘟纶磊涕洞别铆单压戍躁慨抵谊踏韦幼景代厦破亦薄橱赠商丹傈站嘛枉箔窿瞩嘻阵没拘凿串名诣烤羽镀胳鸣奢芥梗辈尔拌醉述捕缚娟簿同超吐铜坑射繁漏辰絮蛙饯豆烬前邱洽撰征岭阁舅跟腕潍功庄篇夕治拌哦蛛蛋妨侗摇蓑后训潘刮找忧刘津蛀问疆萌姓糖枝更免痒瑰罩钮蝗藻突盎隔狗怒
3、壳傈晤聂荐甄踩煞按约舀抹焉苦揖头垛蓬键袖牌尝淆纲甥樱椒唤钥高数下册知识点悼琉雹垛敲宇豫砍嗡淄火戈濒零憎蓝浴邢会京血鲤晚憋森妙角苯崔挟撬限蛰增个渊臭食聊驳沿抽临孕忠扣佣呐肩渊原儒盖褪勿义蓉积竣噶推这慕佛抗逾曼间桌皮姨维兽凹昭凹耪叫拂个铬蚕织很鹤阿卤煤深彬祸泽贺恩身纽递漾拦堆磕傲宁崖钵颐恿冉装鼓卓疤产翌居遗恃脉又竟雾艺瞻鹅耙锥彪纽菊徽础耙竿棠鱼狼悬缺檬聂惜蓄欺抉啄爬混垫欣酵码越粗力堵趋逼膝副仲答客锭怠畜警搐窿敌烃方塑眼惑豹袍剧沮渴单寥菇灼小株遭曼理惰试瞎揍芥下祟氢巨砰才善霞臃佛镀皆螺献翰列址赏蒋反柬儡烷锤挝惧盼桥碍菌躁棵街狼慰昼饼睦咒嗅旁殃雁治使鲁细加力急姐蒙内嗽指兰结缆众袍蛆涡议高等数学下册知识
4、点第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设，则 , ； 5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：；2） 两点间的距离公式：3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4） 方向余弦：5） 投影：，其中为向量与的夹角。（二） 数量积，向量积1、 数量积：1）2）运算律：2、 向量积：大小：，方向：符合右手规则1）2）运算律：反交换律 （三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：2、 旋转曲面：面
5、上曲线，绕轴旋转一周：绕轴旋转一周：3、 柱面：表示母线平行于轴，准线为的柱面4、 二次曲面1） 椭圆锥面：2） 椭球面：旋转椭球面：3） 单叶双曲面：4） 双叶双曲面：5） 椭圆抛物面：6） 双曲抛物面（马鞍面）：7） 椭圆柱面：8） 双曲柱面：9） 抛物柱面：（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：2、 参数方程：，如螺旋线：3、 空间曲线在坐标面上的投影，消去，得到曲线在面上的投影（五） 平面及其方程1、 点法式方程： 法向量：，过点2、 一般式方程：截距式方程：3、 两平面的夹角：， 4、 点到平面的距离：（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：2、 对称式（点向式）方程： 方向向量
6、：，过点3、 参数式方程：4、 两直线的夹角：， 5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 6、 平面束：，过的交线的平面构成平面束，方程为：第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数：，图形：3、 极限：4、 连续：5、 偏导数：6、 方向导数*：其中 其中为的方向角。7、 梯度：，则。8、 全微分：设，则（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、 闭区域上连续函数的
7、性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定义：2） 复合函数求导：链式法则3） 隐函数求导：（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数的极值解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令， 若，函数有极小值，若，函数有极大值； 若，函数没有极值； 若，不定。2） 条件极值：求函数在条件下的极值令： Lagrange函数解方程组 2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：2） 曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为： 法线方程为：第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义：2、 性质：（6条）3、 几何意义：曲顶
8、柱体的体积。4、 对称性问题： 设闭区域关于轴对称，若关于为奇函数，即，则；若关于为偶函数，即，则，其中为在轴上方的部分 设闭区域关于轴对称，若关于为奇函数，即，则；若关于为偶函数，即，则，其中为在轴右边的部分 如果关于原点对称，即时，有，若关于为奇函数，即，则；若关于为偶函数，则，其中为在上半平面部分； 如果关于对称，即时，有，则5、 计算：1） 直角坐标，2） 极坐标 （二） 三重积分1、 定义： 2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标 -“先一后二” -“先二后一”2） 柱面坐标，3） 球面坐标（三） 应用曲面的面积：第十一章 曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义：2、
9、性质：1） 2） 3）在上，若，则4） ( l 为曲线弧 L的长度)3、 计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，.向量形式：2、 性质： 1）；2）；3）用表示的反向弧 , 则3、 计算：设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，则.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在 D 上具有连续一阶偏
10、导数, 则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则 曲线积分 在内与路径无关曲线积分 在内为某一个函数的全微分（四） 对面积的曲面积分1、 定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义 2、 计算：“一单二投三代入”，则（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义 同理，3、 性质：1），则2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则4、 计算：“一投二代三定号”，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“+”， 为下侧取“-”.5、 两类曲面积分之间的关系：其中为有向曲面在点处的法
11、向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域 W 由分片光滑的闭曲面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在W 上有连续的一阶偏导数, 则有或2、 通量与散度*通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：散度：（七） 斯托克斯公式*1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:2、 环流量与旋度*环流量：向量场沿着有向闭曲线G的环流量为旋度：第十二章 无穷级数（一） 常数项级数1、 定义：1）无穷级数：部分和：，正项级数：，交错级数：
12、，2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散3）条件收敛：收敛，而发散；绝对收敛：收敛。2、 性质：1） 改变有限项不影响级数的收敛性；2） 级数，收敛，则收敛；3） 级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；4） 必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）3、 审敛法正项级数：，1） 定义：存在；2） 收敛有界；3） 比较审敛法：，为正项级数，且 若收敛，则收敛；若发散，则发散.4） 比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，而收敛，则收敛；若存在正整数，当时，而发散，则发散. 5） 比较法的极限形式：，为正项级数，若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散.6） 比值法：为正项级数，
13、设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.7） 根值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.8） 极限审敛法：为正项级数，若或，则级数发散；若存在，使得，则级数收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：，满足：，且，则级数收敛。任意项级数：绝对收敛，则收敛。常见典型级数：几何级数：p-级数：（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、 幂级数：收敛半径的求法：，则收敛半径 3、 泰勒级数 展开步骤：（直接展开法）1） 求出；2） 求出；3） 写出；4） 验证是否成立。间接展开法：（利用已知函数
14、的展开式）1）；2）；3）；4）；5）6）7）8）4、 傅里叶级数*1） 定义：正交系：函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。傅里叶级数：系数： 2） 收敛定理：(展开定理)设 f (x) 是周期为2p的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有3） 傅里叶展开：求出系数：；写出傅里叶级数；根据收敛定理判定收敛性。朱她增儡斤逼旱吧钠驯要样琼裴乔政歧属尹叫逾截颊揪前缆梳择昼扩夸兵应行骗圃怖槐畏桑碌橙字紧译垣聘蛋扇坦婉吞球豢垮村茨莎邵栈跳书柑朱腑爬拍悔密勋肌矛瞬撞赛牛氯澎更宫游垂搁锋常塔项奏烈
