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1、北师大版2019-2020学年数学精品资料1平面向量的基本概念平面向量既有大小，又有方向的量向量的模表示向量的有向线段的长度零向量长度为0的向量单位向量长度为1的向量相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量共线向量表示两个向量的有向线段所在直线平行或重合的两个向量2.向量的线性运算(1)向量的加法、减法和实数与向量的积的综合运算，通常叫作向量的线性运算(或线性组合)(2)向量的加法运算按平行四边形法则或三角形法则进行，其中向量求和的三角形法则可推广至多个向量求和的多边形法则，即：n个向量经过平移，使前一个向量的终点依次与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这n个向量的
2、和等于折线起点到终点的向量，即(3)向量的加法满足交换律与结合律，即abba(交换律)；(ab)ca(bc)(结合律)(4)求两个向量差的运算叫作向量的减法，作向量a，b，则ab，即：如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是ab.(5)一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，所以它既有大小又有方向大小(长度)：|a|a|.方向：当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0，方向任意(6)实数与向量的积的运算满足：结合律：(a)()a.分配律：()aaa；(ab)ab.3向量共线(平行)的判定与性质判定定理性质定理a是一个
3、非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与a共线(平行)若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得ba该两定理可简单归结为：ba(ab)ba(R)，判定定理是判定两向量共线的重要依据，性质定理是根据向量共线建立方程的依据4平面向量基本定理平面向量基本定理也叫共面向量定理，即对于不共线的非零向量，e1，e2，若存在一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2，则向量a，e1，e2共面；反之，若向量a，e1，e2共面，则存在唯一一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.若在平面中选中一组基底，则该平面中的任一向量都可与之建立联系，以该基底为纽带，可沟通不同向量之间的联系，如证明三点A，B，C共
4、线，通常是先把，用基底表示出来，再由平行向量定理来加以判定5平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点为起点作a，则xiyja，称实数对(x，y)是向量a的坐标，可知点P的坐标即为a的坐标(2)向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角，判断共线、平行、垂直等问题6平面向量的数量积(1)向量数量积不同于向量的线性运算，因为它的运算结果是数量，不是向量(2)数量积的性质和运算律是进行数量
5、积运算的依据通过这些性质可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个平面向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直等(3)已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2向量的模|a|a|两向量平行的等价条件abababx1y2x2y10两向量垂直的等价条件abab0abx1x2y1y20两向量的夹角公式cos cos 典例1 已知OAB中，延长BA到C，使ABAC，D是将OB分成21的一个分点，DC和OA交于E，设a，b(如图)，(1)用a，b表示向量；(2)若，求实数的值解(1)A为BC的中点，即(2)abm.(2m2)ab0，a，b不
6、共线，解得.借题发挥1.向量线性运算的结果仍是一个向量因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面2理解向量的有关概念(如相等与相反向量、平面向量基本定理、平行向量定理等)，用基底表示向量，三角形法则、平行四边形法则是向量线性运算的基础3向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量的重要方法和技巧对点训练1. 已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点求证：.证明：因为E是对角线AC和BD的交点， 典例2(江苏高考)已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab
7、；(2)设c(0，1)，若abc，求，的值解(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0，1)，所以由此得，cos cos ()，由0，得0.又0，所以，.借题发挥设a(x1，y1)b(x2，y2)，1|a|.2ab3向量的线性运算，向量的平行、垂直条件，都有坐标表示对点训练2若向量a(1，x)，b(x，2)，c(1，1)满足条件(ca)(2b)2，则x_解析：ca(0，1x)，2b(2x，4)，(ca)(2b)2，4(1x)2，得x.答案： 典例3
8、(北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_解析以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0，1)，设E(1，a)(0a1)答案11借题发挥平面向量的数量积是向量的核心内容，利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等对点训练3已知cmanb，c(2，2)，ac，b与c的夹角为，bc4，|a|2，求实数m，n的值及a与b的夹角.解：c(2，2)，|c|4.ac，ac0.bc|b|c|cos|b|4()4，|b|2.cmanb，c2macnbc，16n(4)，n4.在cman
9、b两边同乘以a，得08m4ab.在cmanb两边同乘以b，得mab12.由，得m.ab2，cos .或. 典例4如图所示，顶角为2的等腰劈，今有力|F|100 N作用于劈背上将物体劈开，试分析力F的分力的大小与的关系解根据力的作用效果(力F1、F2的方向分别垂直于劈面)，可将力分解如图，由向量的平行四边形法则及直角三角形的知识有|F1|F2|.根据题意02，0.又(0，)时，sin 是增函数，随着的增大，|F|在减小，即顶角越小，分力越大当时，即顶角为时，|F1|F2|F|.借题发挥平面向量的应用主要体现在三个方面：一是在平面几何上的应用，利用向量的运算解决平行、垂直、距离和夹角等平面几何的相
10、关问题；二是向量在解析几何上的应用，主要利用向量平行和垂直的坐标条件求直线或圆的方程；三是在物理中的应用，主要解决力、速度等矢量的分解、合成问题及力对物体做功的问题对点训练4. 如图，已知ABCD中，E，F在对角线BD上，且BEFD，求证：四边形AECF是平行四边形四边形ABCD是平行四边形(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2设向量a(1，0)，b(，)，则下列结论中正确的是()A|a|b| BabCab与b垂直 Dab解析：选C(ab)b(，)(，)0，(ab)b.3已知a(3，4)，ba，且
11、b的起点为(1，2)，终点为(x，3x)，则b等于()A(，) B(，)C(，) D(，)解析：选D依题意，b(x1，3x2)ba，解得x，b(，)4有下列命题：0；(ab)cacbc；若a(m,4)，则|a|m；若的起点为A(2,1)，终点为B(2,4)，则与x轴正向所夹角的余弦值是.其中正确命题的序号是()A BC D解析：选C因为，所以错；是数量积的分配律，正确；当m时，|a|也等于，故错；在中，(4，3)与x轴正向夹角的余弦值是，故正确5若O是ABC所在平面内一点，且满足|，则ABC一定是()A等边三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形解析：选B由已知可得，则以AB，AC为
12、邻边的平行四边形的两条对角线相等，该四边形为矩形A90.6(辽宁高考)已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()Aab BabC|a|b| Dabab解析：选B法一：由|ab|ab|.平方可得ab0，所以ab，故选B.法二：根据向量加法、减法的几何意义可知|ab|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|ab|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以ab，故选B.7若向量5，那么d()A0 B4C4 D4或4解析：选C5(1,1)(3,4)4.8(重庆高考)设xR，向量a(x，1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A. B.C2 D10解析：选B由ab，可得ab0，即x20，得x2，所以ab(3，1)，故|ab|.9(浙江高考)设a，b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|解析：选C若|a|b|a|b|，则a、b反向共线，故A错误，C正确；当ab时，a、b不反向，也不共线，B错误；若a、b同向，则|ab|a|b|，D错误10已知
