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1、平面向量的概念及线性运算考点与提醒归纳、基础知识1. 向量的有关概念向量的定义及表示： 既有大小又有方向的量叫做向量.以A为起点、B为终点的向量记作入宣，也可用黑体的单个小写字母 a, b , c,来表示向量.向量的长度（模）:向量N云的大小即向量AB的长度（模），记为|鼻直|.2.几种特殊向量名称定义备注零向量长度为0的向量零向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量a单位向量记作 ao，ao =|a|平行向量方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量）0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一疋是平仃向量，平仃向量不一疋是相等向量相反向量长度相等且方向相反的两个向
2、量若a，b为相反向量，则a = -b单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两a a个，即向量|和- |a|.3.向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则?(1)交换律：a + b = b + a;结合律：(a + b)+ c = a+ (b + c)减法求a与b的相反向 量一b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a b = a + ( b)数乘求实数入与 向量a的 积的运算|七|=|川a|;当A 0时，的方向与 a的方向相同；当疋0时，扫的方向 与a的方向相反；当入=0时，七=0?(a)=(入)(a;(入
3、 + (j)a = 右+ pa;?(a + b)=右 + ?b?向量加法的多边形法则多个向量相加，利用二角形法则，应首尾顺次连接，a + b + c表示从始点指向终点的向 量，只关心始点、终点4.共线向量定理向量a（a工0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数入使得b = ?a.只有a工0才保证实数 入的存在性和唯一性.二、常用结论1 -（1）若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，贝U OP = 2（ OA +0B）. （2）OA = XOB + QC （人为实数），若点A, B, C三点共线，则 入+尸1.考点一平面向量的有关概念典例给出下列命题： 若 a = b , b = c,贝U a =
4、 c; 若A, B, C, D是不共线的四点，贝U AB = DC是四边形ABCD为平行四边形的充要 条件； a = b的充要条件是|a|=|b|且a / b ; 若 a / b , b / c,贝U a / c.其中正确命题的序号是.解析正确 a = b ,.a, b的长度相等且方向相同,又b = c,.b , c的长度相等且方向相同， a, c的长度相等且方向相同，故 a = c. 正确. AB = DC ,二| AB |=|DC |且 AB / DC ,又 A， B， C， D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则 AB / DC
5、且| AB |= | DC 因此，AB = DC . 不正确.当a/b且方向相反时，即使|a|=|b|,也不能得到a= b，故|a|=|b|且a lib不是a= b的充要条件，而是必要不充分条件. 不正确.考虑b = 0这种特殊情况.综上所述，正确命题的序号是答案 解题技法 向量有关概念的关键点(1) 向量定义的关键是方向和长度.(2) 非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3) 相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4) 单位向量的关键是长度都是一个单位长度.(5) 零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任意向量共线.题组训练 1. 给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定
6、是共线向量； ？a = 0(入为实数)，则入必为零； 入为实数，若扫，则a与b共线.其中错误的命题的个数为 ()A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选D 错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.错误，当a = 0时，不论入为何值，la = 0.错误，当0时，la =pb = 0,此时，a与b可以是任意向量.故错误的命题有3个，故选D.2. 设ao为单位向量，下列命题中：若 a为平面内的某个向量，则a =|a|ao；若a与ao平行，则a= |a|ao;若a与ao平行且|a|= 1贝U a = ao,假命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与
7、|a|ao的模相冋，但方向不一定相冋，故是假命题；若a与ao平行，则a与ao的方向有两种情况：一是冋向，二是反向，反向时a = |a|ao,故也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.考点二 平面向量的线性运算典例 （2018全国卷I ）在厶ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB =()31AB 4 AC1 B 3BB. 1 AB 4 ACD.1 AeB + 4 AC44D. 4c.3aeB + 1ACC44如图，在直角梯形 ABCD 中,B Br AB + sAD，贝U 2r + 3s=()A. 1C. 312B B B 1B 1 B解析(1)作出示意图如图所示.EB = ED
8、 + DB = 2AD + 2 CB =1 B B 1 B B 3B 1 Bx 2( AB + AC )+ 2( AB AC) = 4 AB AC 故选 A.B B B B 2 B B 2 B B B(2)根据图形，由题意可得 AE = AB + BE = AB + 3 BC = AB + 3( BA + AD + DC)=1 b 2 b1 b 2 aaB , 1 aaB 1 b 2 bAB + 3(AD + DC ) = 3 AB + 3 AD + AB = 2 AB + 3 AD .B B B12因为 AE = r AB + sAD ,所以 r = 2， s= 3,贝U 2r + 3s=
9、1 + 2 = 3.答案A (2)C解题技法向量线性运算的解题策略(1) 常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形 法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2) 找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3) 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.题组训练1. 设DABC所在平面内一点，B
10、O = 365，则()1 4 1 4A . AD =- 3 AB + ACB . AD = 3 AB 3 ACd .= 3ab 3 CC C C C 1 C C 1 C 1 C1C解析：选 A 由题意得 AD = AC + CD = AC + 3 BC = AC + 3 AC 3 AB = 3 AB + 4-c4 AC .2. （2019太原模拟）在正方形ABCD中，M , N分别是BC, CD的中点，若 A-=瓜M-+ 3AN，则实数 AtF尸C C C C 1 C C 1 C解析：如图， AM = AB + BM = AB + 2 BC = DC + 2 BC，C C C C 1 CAN
11、= AD + DN = BC + DC， 4 2 4 2由得 BC = 3 AN 3 AM , DC = 3 AM 3 AN ,4 2 42 2 2 AC = AB + BC = DC + BC = 3AM 3 AN + 3 AN 3 AM = 3 AM + 3 AN ,224T AC = ZAM + 3AN , = 3, 3= 3， + 尸 考点三共线向量定理的应用典例设两个非零向量a与b不共线,若 AB = a + b , BC = 2a + 8b , CD = 3a 3b ,求证： A， B， D 三点共线；(2)试确定实数 k,使ka+ b和a + kb同向. 解(1)证明：AB =
12、a + b , BC = 2a + 8b , CD = 3a 3b , BD = BC + CD = 2a + 8b + 3a 3b = 5(a + b)= 5 AB , AB , BD 共线.又它们有公共点B, A，B， D 三点共线.(2) vka + b 与 a+ kb 同向，存在实数 久0)，使 ka + b = Xa + kb),即 ka+ b = ?a + 入 k (k X)a= (Xk 1)b .a, b是不共线的非零向量，k X= 0，k= 1 ，k= 1 ， 解得或Xk 1 = 0 ，X= 1X= 1 ，又?0,.k= 1.1. 向量共线问题的注意事项(1 )向量共线的充要条
13、件中， 当两向量共线时， 通常只有非零向量才能表示与之共线的其 他向量，注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题， 可用向量共线来解决， 但应注意向量共线与三点共线的区别与联 系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.题组训练 1.在四边形 ABCD 中，AB = a + 2b , BC = 4a b , CD = 5a 3b ,则四边形 ABCD的形状是 ()B 平行四边形D .以上都不对A .矩形C.梯形解析：选 C 由已知，得 瓦D = A8 + 1BC + CID=- 8a 2b = 2( 4a b) = 21BC，故 AD / BC 又因为AB与CD不平行，所以四边形 ABCD是梯形.2. 已知向量 eiM 0,入 R, a = ei+ te2, b = 2ei,若向量a与向量b共线，则()A .A 0B. e2= 0C. ei / e2D. ei / e2或 =0解析：选D 因为向量eiM 0,入 R, a = ei + te2, b = 2ei,又因为向量a和b共线，存在实数 k,使得a = kb，所以ei+?62= 2kei,所以 入e= (2k i)e
