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1、-幂函数的概念例1、以下结论中，正确的选项是()A幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B幂函数的图象可以出现在第四象限C当幂指数取1,3，时，幂函数y*是增函数D当幂指数1时，幂函数y*在定义域上是减函数解析当幂指数1时，幂函数y*1的图象不通过原点，应选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，)上都有定义，且y* (R)，y0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，应选项B不正确；而当1时，y*1在区间(，0)和(0，)上是减函数，但它在定义域上不是减函数答案C例2、幂函数f(*)(t3t1)*(73t2t2) (tZ)是偶函数且在(0，)上为增函数，*数t的值分析关于幂函数y* (R
2、，0)的奇偶性问题，设 (|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，y*是非奇非偶函数；当q是奇数时，y*的奇偶性与p的值相对应解f(*)是幂函数，t3t11，t1,1或0.当t0时，f(*)*是奇函数；当t1时，f(*)*是偶函数；当t1时，f(*)*是偶函数，且和都大于0，在(0，)上为增函数故t1且f(*)*或t1且f(*)*.点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件tZ给予足够的重视例3、如图是幂函数y*m与y*n在第一象限内的图象，则()A-1n0m1Bn1,0m1C1n1 Dn1解析在(0,1)内取同一值*0，作直线*0，与各图象有交点，则点低指数
3、大如图，0m1，n*，求*的取值*围错解由于*20，*R，则由*2*，可得*R.错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y*在1和01两种情况以下图象的分布正解作出函数y=*2和y=的图象(如右图所示)，易得*1.例5、函数f(*)(m2m1)*m2m3是幂函数，且当*(0，)时，f(*)是增函数，求f(*)的解析式分析解答此题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.解根据幂函数定义得m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(*)*3在(0，)上是增函数；当m1时，f(*)*3在(0，)上是减函数，不符合要求故f(*)*3.点评幂函数y* (R)，其中为常数，其
4、本质特征是以幂的底*为自变量，指数为常数(也可以为0)这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根变式y(m22m2)*2n3是幂函数，求m，n的值解由题意得，解得，所以m3，n.例6、比拟以下各组中两个数的大小：1，；20.71.5，0.61.5；3，解析：1考察幂函数y的单调性，在第一象限内函数单调递增，1.51.7，2考察幂函数y的单调性，同理0.71.50.61.53先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，又，点评：比拟幂形式的两个数的大小，一般的思路是：1假设能化为同指数，则用幂函数的单调性；2假设能化为同底数，则用指数函数的单调性；3假设
5、既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比拟大小例7、比拟以下各组数的大小 (1) 3与3.1；(2)8与.分析比拟大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比拟，这种方法叫搭桥法解(1)函数y*在(0，)上为减函数，又33.1.(2)8，函数y*在(0，)上为增函数，又，则，从而8，11,03.811，(1.9)0，所以(1.9)3.8(4.1).例8、幂函数y*3m9 (mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上函数值随*的增大而减小，求满足(a1)(32a)的a的*围解函数在(0，)上递减，3m90，解得m3，又mN*，m1,2.又函数图象
6、关于y轴对称，3m9为偶数，故m1，有(a1)32a0或0a132a或a1032a，解得a或a0时，是增函数；幂函数y*n，当n0，且a1)答案B解析根据函数图象，选B.二、填空题1假设幂函数yf(*)的图象经过点，则f(25)_.答案解析设f(*)*，则9，.f(25)25.2设幂函数y*的图象经过点(8,4)，则函数y*的值域是_答案0，)解析由48，得，y*0.3. 如下图是幂函数y=*在第一象限内的图象，取2，四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的依次为.答案2，24假设幂函数yf(*)的图象经过点(2，)，则f(25)的值是_答案5解析设y*，点(2，)在y*的图象上，2，f(
7、*)*.故f(25)255.5幂函数y* (R)的图象一定不经过第_象限答案四6把以下各数2，3，0，按由小到大的排列顺序为_答案302.7幂函数f(*)*，假设f(a1)f(102a)，则a的取值*围是_答案3a0)，由图象知*(0，)时为减函数，又f(a1)f(102a)，得3ag(*)；(2)f(*)g(*)；(3)f(*)1或*g(*)(2)当*=1时，f(*)=g(*)(3)当-1*0或0*1时，f(*)g(*)4函数y(a23a2)*a25a5 (a为常数)(1)a为何值时此函数为幂函数？(2)a为何值时此函数为正比例函数？(3)a为何值时此函数为反比例函数？解(1)由题意，得a23a21，即a23a10.解得a，即a时，此函数为幂函数；(2)由题意，得解得a4，即a4时，此函数为正比例函数；(3)由题意，得解得a3，即a3时，此函数为反比例函数5函数y1求函数的定义域、值域；2判断函数的奇偶性；3求函数的单调区间解析：这是复合函数问题，利用换元法令t152*2，则y，1由152*20得函数的定义域为5，3，t16*120，16函数的值域为0，22函数的定义域为5，3且关于原点不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数3函数的定义域为5，3，对称轴为*1，*5，1时，t随*的增大而增大；
