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1、函数（四） 函数的基本性质一、函数的基本性质：单调性、最值、奇偶性、周期性、对称性、二、函数的单调性：设函数f(x)的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时：（1）若总有f(x1)f(x2),则称函数y=f(x)在这个区间上是减函数。 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。单调性的判定方法（1）定义法：求函数单调性有如下几个步骤 1、取值x1,x2属于定义域I，并使x1f(x2),则函数在I上单调递减，若f(x1)0时，,试问：当0时，的表达式
2、是什么？练习1.已知是R上的偶函数，当时，求的解析式2. 已知：函数定义在R上，对任意x，yR，有且。(1)求证：；(2)求证：是偶函数；四、周期性、对称性（自身函数）（1）周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。（2）对称性定义，请用图形来理解。1.对称性偶函数关系式关于Y轴对称，即与，若满足，它们关于对称；与关于X轴对称，即与，若满足，它们关于对称；奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式；函数关于对称；也可以写
3、成 或 ；与关于直线对称，即与，若满足，即它们关于对称； 简证:设点在上，通过可知，,即点也在上，而点与点关于对称。得证。若写成：，函数关于直线 对称函数关于点对称；上述关系式也可以写成或 ；如果函数满足，则函数的图象关于点对称 简证：设点在上，即，通过可知，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。若写成：，函数关于点对称 函数是否关于对称？假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。两个函数图象的对称性函数与函数的图象关于直线对称；特殊地: 与函数的图象
4、关于直线对称函数的图象关于直线对称的解析式为函数的图象关于点对称的解析式为函数与的图像关于直线成轴对称；函数与的图像关于直线成轴对称；函数的图像与的图像关于直线成轴对称关于直线对称2.周期性 函数满足如下关系系，则 A、 B、 C、或（等式右边加负号亦成立） 若函数在R上满足，且()，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”； 若函数在R上满足，且（），则函数以为周期；若函数在R上满足，且（），则函数以为周期.如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）；如果偶函数满足
5、则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上） 如果奇函数满足，则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足，则函数是以2T为周期的周期性函数。 性质若函数的图像有两条铅直对称轴和(),那么为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期若函数同时关于两点、（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期例1.已知函数满足，则图象关于_对称。2.函数与函数的图象关于关于_对称。3.设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于_对称
6、。4.设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于_对称。图象关于_对称。5.设的定义域为R，且对任意 ，有，则图象关于_对称，关于_对称。6.定义在实数集上的奇函数恒满足，且时, ,则=7.已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和 8.设函数的定义域为R，则下列命题中，若是偶函数，则图象关于y轴对称；若是偶函数，则图象关于直线对称；若，则函数图象关于直线对称；与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_。9.已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只有三个实根，且一个根是4，则方程在区间中的根_10.已知,则11.设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则的大小为_12.定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为_13.函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 .14.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为_15.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x)0的x范围是_综合练习1已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则_0（、
