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1、 导数的应用吴泽国目录摘要2一.引言2二导数的概念2三导数的求法31显函数导数311导数的四则运算：312复合函数与反函数求导法则313基本初等函数求导公式32隐函数导数43由参数方程所确定的函数求导法44分段函数的导数4四导数的性质4五导数的应用51导数在函数中的应用511利用导数判断函数的单调性612利用导数判断函数凹凸性及拐点713利用导数求函数的极值和最值814利用导数知识描绘函数图形1315利用导数求参数问题152导数在曲线中的应用163利用导数研究方程的根174应用导数证明不等式175导数在数列中的应用186利用导数求极限洛必达法则1961“”型和“”型1962其他形式207物理学
2、中的导数208经济学中的导数应用21结束语：22参考文献：22（版权所有）摘要 导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用 关键字 导数 初等数学 高等数学 应用一.引言导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考
3、查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。高考考查导数应用主要有以下三个方面：运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。导数在其它数学分支的应用，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合等。二导数的概念1、定义：左导数：右导数： 可以证明：可导连续 即：可导是连续的充分条件 连续是可导的必要条件导函数：2.导数的几何意义（图1）曲线在点处的导数在几何上表示为：曲线在点A处切线的斜率。即（是过A点的切线的倾
4、斜角）（如图1）则，曲线在点A处切线方程为：三导数的求法 1显函数导数11导数的四则运算： 12复合函数与反函数求导法则 复合函数求导法则 （反函数求导法则）13基本初等函数求导公式； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 。2隐函数导数如方程，能确定，只需对方程两边对求导即可。注意3由参数方程所确定的函数求导法参数方程，则：为的复合函数，所以：4分段函数的导数对分段函数求导时，在分段点处必须用导数定义来求导，而在每段内仍可用初等函数求导法则来求导。分段函数点处极限问题，归纳为该点处在左、右两侧的导数是否一致以及该点处是否连续的问题。四导数的性质前面介绍了导数的基本知识，现将用导函数自身的定
5、义来探讨与导数之间的联系性质1：若函数是偶函数且可导，则其导函数是奇函数。证明：由是偶函数，有 则： 所以，是奇函数同理：若函数是奇函数且可导，则其导函数是偶函数。性质2：若函数是周期函数且可导，则其导函数也是周期函数。证明：是周期，有 所以，是周期函数性质3：若函数可导且图象关于直线对称，则其导函数图象关于点对称证明：函数图象关于对称，有 且点在的图象上，所以图象关于点对称同理：若函数可导且图象关于点对称，则其导函数图象关于直线对称五导数的应用1导数在函数中的应用导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面
6、。在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题11利用导数判断函数的单调性一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律，是在研究函数图形时首先考虑的问题。在中学，已经知道函数在某个区间内单调增减性的定义。下面利用导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区间从图形直观分析：若在内，曲线上每一点的导数都大于0，即，利用导数的几何意义知，在内，曲线上每一点的切线斜率都为正，这时曲线是上升的，即函数是单调递增的（如图2）。反之，若在内，曲线上每一点的导数都小于0（即曲线上每一点的切线斜率都为负），这时曲线是下降的，即函数是单调递减的（如图3）对于上升或者下
7、降的曲线，它的切线在个别点可能平行于轴（此点的导数值为0，即）。因此，函数的增减性反映在导数上，有如下定理：定理1：设函数在区间内可导，则：若时恒有，则在单调增加；若时恒有，则在单调减少。例1：求函数单调递增区间解：因，由 得所以，单调递增区间为例2：已知函数，试讨论函数单调性。分析：引进导数这一工具之前，判断函数单调性的一般方法是定义法。此题利用定义法就无法的出答案，而有了导数之后，问题就易解决了。（此题是04年湖南高考题）解：因，所以（1）当时，令得； 若，则，从而在上单调递增； 若，则，从而在上单调递减；（2）当时，令得或； 若，则，从而在上单调递减； 若，则，从而在上单调递增； 若，则
8、，从而在上单调递减。12利用导数判断函数凹凸性及拐点在研究函数图形的变化状况时，知道它的上升和下降顾虑很有好处，但不能完全反映它的变化规律。如图4所示的函数的图形在区间内虽然是一直上升的，但却有不同的弯曲形状。因此，研究函数图形时，考察它的弯曲形状以及扭转弯曲方向的点是必要的。从图4看出，曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线下方，曲线向上下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方，据此给出定义如下：定义1 在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线上方，则称曲线在该区间内是上凸的（也称在该区间内此函数为凹函数）；在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线下方，则称曲线在该区间内是下凹的（也称在
9、该区间内此函数为凸函数）那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？按定义是很难判断凹凸性的，对于凹凸性可以用二介导数来确定。即有判定定理。定理2：设函数在区间上具有二介导数，当时，则曲线为凸（此时在该区间为凹函数）当时，则曲线为凹（此时在该区间为凸函数）通过图形的直观性来说明该定理的正确性（如图5）若曲线呈现凸状，由图5（1）直观看出：当增大时，切线斜率随之变小，说明一介导数函数在上为减函数，由函数单调性判别法，必有，即。说明：若曲线为凸性，必有。同理，若曲线为凹，必有。从另一角度讲，该定理为二介导数的几何意义。定义2：若函数在点的左右邻域上凹凸性相反，则点叫做曲线的拐点（注意拐点不是）由拐点的
10、定义可知，判断某点是否拐点，只需看该点左右两侧二介导数是否异号，与该点一介、二介导数是否存在无关例3、求函数的凹凸区间及拐点。解：因，则令，得。所以0+0-0+凹1拐点凸 拐点凹13利用导数求函数的极值和最值（1）利用导数求函数的极值函数由增加变为减少或由减少变为增加，都经过一个转折点，即图中的“峰”点和“谷”点，这些点是在研究函数中是十分重要的。定义2、设函数在点及其某邻域左右两侧附近有定义，若对该邻域内的任意点（）恒有，则为极大值；若成立，则为极小值。应当注意：极值是一个局部概念，它只限于的某一邻域内，通过函数值相比较才能显示出来。在一个区间上，函数可能有几个极大、极小值。可能会有极大值小
11、于极小值。极值点和导数的关系如何？由图6可知：定理2 若是函数的极值点，则或者不存在。注意：是点为极值点的必要条件，但不是充分条件。如，但点不是函数极值点；函数在导数不存在的点也可能有极值。如，不存在，但点不是函数极值点（如图7）将导数为0的点或者不可导的点统称为驻点。因此函数的极值必在驻点处取得，但驻点不一定是极值点，所以在求得函数极值的驻点后，就是找到了所有极值可疑点。下面介绍函数在驻点或导数不存在的点取得极值的充分条件，即极值的判断方法。定理3（极限存在的充分条件之一） 设在连续，在某邻域内可导，若（左侧）时，而（右侧），则函数在处取极大值若（左侧）时，而（右侧）时，则函数在处取极小值若
12、两侧不变号，则在处无极值。该定理的直观含义为：函数由单调增加（或单调减少）变成单调减少（或单调增加）的转折点，即为极大值点（或极小值点）。例4、求函数的单调区间和极值解：，当时，；而时不存在。因此，函数只可能在这两点取得极值。+不存在-+ 极大值极小值由表可见，函数在区间，单调递增；在区间单调递减。在处有极大值，在点处有极小值。若函数的二介导数存在，有如下的判定定理；定理4（极限存在的充分条件之二） 设，存在，若，则为的极小值；若，则为的极小值；若，本方法无效，需用极限存在的充分条件之一这个定理来进一步判定。因为，则曲线在点的左右两侧呈凹状，因此为极小值；反之，若，则曲线在点的左右两侧呈凸状，
13、因此为极大值。例5、求函数的极值。解：如图8，因为，令，得驻点。所以，又因为，所以函数在处取得极小值。因为，则定理应用定理4失效。下面利用定理3。当时，；当时，所以函数在处无极值同理函数在处去极值（2）利用导数求函数的最值在经济活动和日常生活中，常遇到在一定条件下。怎样用料最省、成本最低、效率最高或者效益效率最好的问题，这些归纳到数学问题上，即为函数的最大值或最小值问题。假定函数在闭区间上连续，则必存在最大、最小值，其判定方法为：找出可能为极值点的函数值（即区间内使或不存在的所有点的函数值）；计算出端点处的函数值；比较极值和端点值的大小；其中最大的就是函数在闭区间上的最大值，其中最小的就是函数在闭区间上的最小值。最值与极值是不同的：极值反映的是函数形态，即极值只是与该点在附近的函数值比较而言的，而对于远离该点的情形不予考虑；而最值则是函数整体形态的反映，它是指函数在所考察的区间上全部函数值中的最大者（或最小者）。例6、求函数在区间上的最大、最小值。解：，令即解得，变化时，的变化如下表：0+0由上表可知最大值是，最小值为例7、已知，函数，当为何值时，取得最小值？证明你的结论。解：，由，得，变化时，的变化如下表：+00+极大值极小值当时，。而当时，；时，。所以当时，取
