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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（全国卷I新课标）注意事项：1.本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II卷3至5页.2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置3全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效4考试结束后，将本试题和答题卡一并交回第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的._1. （2013课标全国 I,理1）已知集合 A =%I%22%0, B =%|5%0,.%2.集合A与B可用图象表示为：由图象可以看出A U B=R，故选B.2.3.（2013课
2、标全国I,理2）若复数z满足（34i）z=I4+3iI,则z的虚部为（）.C.4A.4答案：D解析：:(34i)z=I4+3iI,5(3+ 4i)3 4i (3 4i)(3+ 4i)5 5,4故z的虚部为5，选D.（2013课标全国I,理3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是（）.A.简单随机抽样 C.按学段分层抽样 答案：CB.按性别分层抽样D.系统抽样解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样4.
3、（2013课标全国_ %2y25 1 1理4）已知双曲线c：益-b=130, b0）的离心率为T ,贝c的渐近线方程为().A. y = - %4C. y = -%2B.D.y=%答案：解析：ce =-ac 2a 2 + b 2e 2 =a2a254.500nA. -3cm31372nC. - cm33答案：A866nB. kcm32048nD. cm33b1.a 2-4 b 2,i .a2b1；.渐近线方程为y = x i x.a25. （2013课标全国I,理5）执行下面的程序框图，如果输入的t 1,3,则输出的s属于（）.A3,4B5,2C.4,3D.2,5答案：A解析：若 t1,1）,
4、则执行 s =31，故 sG-3,3）.若t1,3,则执行s=4112,其对称轴为t=2.故当t=2时，s取得最大值4.当t =1或3时，s取得最小值3,则s3,4.综上可知，输出的s 3,4.故选A.6. （2013课标全国I,理6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为().解析：设球半径为H,由题可知R, R2,正方体棱长一半可构成直角三角形，即0A4为直角三角形,如图.BC=2, BA=4, OB=R2，OA=R 由 R2=(R2)2+42，得R=5,所以球
5、的体积为3兀53 =兀(cm3)故选A.7. （2013课标全国I,理7）设等差数列a的前n项和为Sn，若Sm=2, Sm=0A. 3答案：C 解析：: S.B. 4C. 5D. 6Sm +1 = 3,则 m=().=2m 1a = S Smm,d=am+1Sm = 0，Sm +1=3,m 1 = 0 ( 2) = 2, am +1= Sm +1与=30 = 3.a =32=1.mm (m -1)m -1-X1=0，A a =-212m 一1 八又. am+1=a 1+ m X1：3，. + m =3.m =5.故选 C.8.(2013课标全国I理8）某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为
6、（,)1. 16+8nC.16+16n答案：A8. 8+ 8nD.8 +16nA.5B.6C.7D.8解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r=2,长为4,在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为nrX4X 1+4X2X2= 8n+16.故选A.9. （2013课标全国I,理9）设m为正整数，（%+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a,（%+y）2m +1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a =7b，则m =（）.答案：B解析：由题意可知b = C m ，2 m+112(2m)!, (2m +1)!又丁13a=7b，力3.而=7. m，
7、即13= 2m +1.解得m =6.故选B.7 m +1x2y210. （2013保标全国I,理10）已知椭圆E： +丁 =1（。b0）的右焦点为网3,0）,过点F的直线交E a 2 b 2于A, B两点.若AB的中点坐标为（1,1）,则E的方程为（）.B.x2 y2+=136 27x2 y2A. +=14536x2 y2 ,C. + =127 18答案：D解析：设A (x , y 1)D.B (x 2,x2 y2+ =118 9y2）,VA, B在椭圆上，得(x + x )(x 一 xa 2）+（ y+y 2）（ y 一上）(y + yl(yy.)1212(% + x2 )(L2 )丁AB
8、的中点为(1,1),；y 1+ y2=-2,tX - X2 = k = 2 =1 AB 3 一 12a2X 1+ X 2 = 2,12,又a2b2=9,Aa2=18, b2=9.x2 y2.椭圆E的方程为+不=1.故选D.189一 x2+ 2 x, x 0.A.(8,0B.(8,1C.2,1D.2,0答案：D解析：由y=fx)l的图象知：当x0时，y=ax只有aW0时，才能满足fx）l三ax,可排除B, C.当 xW0时，y=fx）l =| x2+2xl= x22x.故由 lf（x）l 三ax 得 x22x三ax.当x=0时，不等式为0三0成立.当x0时，不等式等价于x2Wa./x2c 1，
9、b 1+c1= 2a 1， an +1anb =： +匕bn+12b + acn +1= n 2 n，则().A.B.C.D.S 为递减数列S为递增数列S2 J为递增数列，S2为递减数列s2n J为递减数列，s2n为递增数列答案：B第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答.第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.(2013课标全国I,理13)已知两个单位向量a, b的夹角为60, c = ta+(1-t)b.若b c =0,则t=答案：2解析：: c=ta+(1 t)b,b c=ta
10、b+(1 t )lI b I2.又al = lbl =1,且a 与 b 夹角为60, b-Lc,.,.0= 11 a II blcos 6010=t +1 t.2.t=2.(1t)，14.(2013课标全国I2理14)若数列Ua 的前n项和S =-a nn31+3 ,贝弘an的通项公式是an=答案：(-2)wt解析：. Sn2=a3 ，.当n三2时，一，得ann-12=a3 ，1+3，21=-a +.3 n -132-a ,3 n-1a即n= -2.an-1a = 1. a/是以1为首项2为公比的等比数列，an=(-2)n-1.15.(2013课标全国I,理15)设当x=0时，函数f x尸si
11、nx-2cos x取得最大值，则cos 0=225答案：-亍解析：f(x)= sin x2cos x12sin x 55)cos x贝f(x)= V5 sin( a+x),当 x=2k n+ a(kZ)时，sin(a+x)有最大值1, f(x)有最大值5,所以cos=cos2= sin a = 525可兀即0=2kn+ a(kZ),得 x 1 = 2 v5 ,x2=-2, x3=-2+ 5 .16. (2013课标全国I,理16)若函数f(x)= (1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=2对称，则f(x)的最大值为答案：16解析：函数f(x)的图像关于直线x =-2对称，:fx)满足f
12、(0)=f(-4), f(-1)=f(-3),b =15(16 4 a + b),即10= 8(9 3 a + b),a =8,解得kb =15.f(x )= x 48 x 314x 2+8 x +15.由 f(x )=-4x3-24x2-28x +8= 0,增函数，在(-2+ 5十8)上为减函数.易知，f(x)在(一8,-2 v5)上为增函数，在(一2一：5,-2)上为减函数，在(一2,-2+%：5)上为f(-2-5) =1-(-2- j5)2(-2-。5)2+8(2-5)+15=(-8-45)(8-45)=80-64=16.f(-2)= 1-(-2)2(-2)2+8X(-2)+ 15=-3(4-16+15)=9.f(-2+ V5)= 1-(-2+5)2(-2+5)2+8(-2+5)+15=(-8+4c5)(8+45)=80-64= 16.故f(x
