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1、八年级数学上册压轴题训练1问题背景：如图1：在四边形ABC中，AB=AD,ZBAD=120,ZB=ZADC=90.E,F分别是BC,CD上的点.且/EAF=60.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明ABEADG,再证明AEFAGF,可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180.E,F分别是BC,CD上的点，且ZEAF=ZBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由;实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东7
2、0的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70,试求此时两舰艇之间的距离.2. 【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即SAS”、ASA”、“AAS”、“SSS)和直角三角形全等的判定方法(即“HL)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.BC=EF,ZB=ZE,然后,【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和厶DEF中，AC=DF,对ZB进行分类，可分为“
3、ZB是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况：当ZB是直角时，ABCMDEF.(1) 如图，在厶ABC和厶DEF，AC=DF，BC=EF，ZB=ZE=90,根据，可以知道RtAABC竺RtADEF.第二种情况：当ZB是钝角时，ABCDEF.(2) 如图，在厶ABC和厶DEF，AC=DF，BC=EF，ZB=ZE，且ZB、ZE都是钝角，求证：ABC竺DEF.第三种情况：当ZB是锐角时，ABC和厶DEF不一定全等.(3)在厶ABC和厶DEF，AC=DF，BC=EF，ZB=ZE，且ZB、ZE都是锐角，请你用尺规在图中作出DEF,使厶DEF和厶ABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)
4、ZB还要满足什么条件，就可以使ABdDEF?请直接写出结论：在ABC和厶DEF中,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且ZB、ZE都是锐角，若,贝仏ABCDEF.3. 有这样一道题：把一张顶角为36的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗？请画示意图说明剪法.我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法:定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.(1) 请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种)(2) AA
5、BC中，ZB=30,AD和DE是ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD,DE=CE,设ZC=x，试画出示意图，并求出x所有可能的值；4如图，ABC中,AB=AC，厶A=36，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作：(画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括ABC)(1) 在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是度和度；(2) 在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；(3) 继续按以上操作发现：在ABC中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰三角形.5.在等腰直角三角形ABC中，ZB
6、AC=90,AB=AC,直线MN过点A且MNIIBC,过点B为一锐角顶点作RtABDE,乙BDE=90,且点D在直线MN上(不与点A重合)，如图1,DE与AC交于点P,易证：BD=DP.(无需写证明过程)(1) 在图2中，DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；(2) 在图3中，DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明.6.如图，已知BAD和厶BCE均为等腰直角三角形，ZBAD=ZBCE=90,点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.(1) 当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证：M
7、为AN的中点；(2) 将图1中的BCE绕点B旋转，当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证：ACN为等腰直角三角形；(3) 将图1中厶BCE绕点B旋转到图3位置时，(2)中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由.7. 【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1,在厶ABC中，AB=AC,点P为边BC上的任一点，过点P作PD丄AB,PE丄AC，垂足分别为D、E，过点C作CFAB，垂足为F.求证：PD+PE=CF.图小军的证明思路是：如图2,连接AP，由厶ABP与厶ACP面积之和等于ABC的面积可以证得：PD+PE=CF.小俊的证明思路是：如图2,过点
8、P作PG丄CF,垂足为G,可以证得：PD=GF，PE=CG,则PD+PE=CF.【变式探究】如图3,当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PDPE=CF.8. 在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上.（1）如图1,ABC和厶APE均为正三角形，连接CE. 求证：ABP里ACE. ZECM的度数为.如图2,若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE.则ZECM的度数为.如图3,若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE.贝贬ECM的度数为.（3）如图4,n边形ABC和n边形APE均为正n边形，连接CE,请你探索并猜想
9、ZECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示ZECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论.9、如图，在AABC中，点D为边BC的中点，过点A作射线AE,过点C作CF丄AE于点F,过点B作BG丄AE于点G,连接FD并延长，交BG于点H(1) 求证：DF=DH；(2) 若ZCFD=120,求证：厶。!为等边三角形.10、已知两等边AEC,ADEC有公共的顶点C。(1) 如图，当D在AC上，E在EC上时，AD与EE之间的数量关系为；(2) 如图，当E、C、D共线时，连接AD、EE交于M,连接CM,线段BM与线段AM、CM之间有何数量关系？试说明理由；(3) 如图，当E、
10、C、D不共线时，线段EM与线段AM、CM之间的数量关系是(不要求证明)。A3、在厶ABC中，ZACB为锐角，动点D(异于点B)在射线BC上，连接AD,以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF.(1) 若AB=AC，ZBAC=90那么如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是(直接写出结论)图二，当点D在线段BC的延长上时，中的结论是否仍然成立？请说明理由.(2) 若ABMAC,ZBACH90。.点D在线段BC上,那么当ZACB等于多少度时？线段CF与BD之间的位置关系仍然成立.请画出相应图形，并说明理由.图4、如图1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方ABCD的
11、顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E,F,连接EF.(1) 猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；(2) 在图1中，过点A作AM丄EF于点M,请直接写出AM和AB的数量关系；(3) 如图2,将RtAABC沿斜边AC翻折得到RtAADC,E,F分别是BC,CD边上的点，ZEAF=12ZBAD,连接EF,过点A作AM丄EF于点M,试猜想AM与AB之间的数量关系.并证明你的猜想.答案1、全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定.分析：（1）首先证明Z1=Z2,再证明DCFADBH即可得到DF=DH；（2）首先根据角的和差关
12、系可以计算出ZGFH=30,再由ZBGM=90可得ZGHD=60,再根据直角1三角形的性质可得，HG=2HF,进而得到结论.解答：证明：(1)/CF丄AE,BG丄AE,ZBGF=ZCFG=90,Z1+ZGMB=Z2+ZCME,.*ZGMB=ZCME,Z1=Z2,点D为边BC的中点，DB=CD,Z在厶BHD和厶CED中，Z1=Z2DB=CDZ3=Z4BHDACED(ASA),CFD=120,ZCFG=90,GFH=30,BGM=90,.ZGHD=60,.*HGF是直角三角形，HD=DF,1HG=HF=DH2DHG为等边三角形.点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上的中线
13、等于斜边的一半，关键是掌握全等三角形的判定定理.2、解：（1）AD=BE（2）BM=AM+CM理由：在BM上截取BMZ=AM,连接CMZABC、CED均为等边三角形，.BC=AC,CE=CD,ZACB=ZECD=60.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE即ZBCE=ZACD.在厶BCE和AACD中AC=BC彳ZBCE=ZACD-CE=CD.BCEAACD（SAS）.Z1=Z2.在厶BM百仏AMC中rBMz=AMZ1=Z2BC=AC.BMCAMC(SAS).Z3=Z4,CM=CMVZACB=Z3+Z5=60.Z4+Z5=60。即ZMMZC=60.MMC为等边三角形.CM=MM.BM=BM+MM
14、=AM+CM(3) BM=AM+CM(-1：匸CF=BDCF_LBD,解2结论还戒立，CF=DDCFlEJf理由是；匚四边形MEF是正方瑕ZDAF=90a、V ZBAC匚9CI,ZBA匚一ZDAC=ZDAF-DA(2-/-./,ZBAD=.CAF)丫在ABAD和ACAF中AB=AC*22BAD=ZCA，AD=AFAESADACAF,.VCF=D,ZB=ZA匚V ZBACSO,4、c四边形曲CD是正方形AABO=AD(1)EFBE+DF,0B证明：如答图1，延长毋到Q，使叫二DF,宦接帕ADAD=AB,ZD=ZDAB=ZABE=ZABQ=90在Aadf和Aafq中(AB=ADBO=DF.AadfAabq(SAS)AQ=AF,ZQAB=ZDAF
