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1、毕业论文（设计）开题报告-中学数学竞赛中的数论问题一、研究目的和意义数论就是指研究整数性质的一门理论。 整数的基本元素是素数，所以，数论 的本数论（近代数论）。数论就是指研究整数性质的一门理论。质是对素数性质 的研究。数论大致上可以分为初等数论（古典数论）和高等数论。初等数论主要 包括整除理论、同余理论、连分数理论。它的研究方法本质上说，就是利用整数 环的整除性质。初等数论也可以理解为用初等数学方法研究的数论。其中最高的成就包括高斯的“二次互反律”等。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、算术代数几何等等。数论是竞赛数学中最重要的一部分， 在各地的数学竞赛中，每
2、年都会有数论 的题型，可见其重要性。可是认真观察竞赛数学中的数论题型， 已逐渐形成一门 特殊的数学学科-竞赛数学，也可称为奥林匹克数学。将高等数学下放到初等数 学中去，用初等数学的语言来表述高等数学的问题，并用初等数学方法来解决这 些问题，这就是竞赛数学的任务。竞赛数学的问题甚至解法的背景往往来源于某 些高等数学。数学就其方法而言，大体上可以分成分析与代数，即连续数学与离 散数学。很多国际数学奥林匹克的试题来自数沦、组合分析、近世代数、组合几 何、函数方程等。其中的数论知识部分，就是来源于初等数论的概念与性质。本文将通过研究中学数学竞赛中的数论问题，体现出将高等数学下放到初 等数学中去，将初等
3、数论融合到中学教学中去，而数学竞赛的开展也有利于提高 学生对数学重要性的认识，同时可以通过特殊的技巧和方法的应用激起学生学习 的兴趣。并形成一定的高等数学知识的概念，为其深入学习数学打下重要基础, 有利于以后在数学涵养方面的进一步提高二、分析国内外研究现状和发展趋势，提出本课题的主攻方向 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪， 这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中， 也就是说还没有形成 完整统一的学科。自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述， 比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希 腊时代的数学家对于数论中
4、一个最基本的问题整除性问题就有系统的研 究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的 各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献， 使数论的基本理论 逐步得到完善。 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材 料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关 问题，一直受到数学家的关注。 到了十八世纪末， 历代数学家积累的关于整数性 质零散的知识已经十分丰富了， 把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经 完全成熟了。由于近代计算机科学和应用数学的发展， 数论得到了广泛的应用。 比如在计 算方法、代数编码、组合论等方面都广泛
5、使用了初等数论范围内的许多研究成果； 又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算 离散傅立叶变换等。 此外， 数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、 差集 合、快速变换等方面得到了应用。 特别是现在由于计算机的发展， 用离散量的计 算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能本文的主攻方向主要研究数学竞赛中的数论问题的 5 个重点类型，包括奇数 与偶数、约数与倍数、平方数、整除、同余这五个重点类型的研究与讨论，通过 自己对问题的理解和分析， 提出自己的独到见解和方法， 为以后学习更深层次的 竞赛中的数论问题打下坚实的基础和兴趣。三、主要研究内容、途径和技术路线竞赛
6、数学常常重视的是某一类型的解题方法或技巧。 这些数论知识的应用会 引发思考。 数论是竞赛数学中最重要的一部分， 在各地的数学竞赛中， 每年都会 有数论的题型， 可见重要性。 随着数学竞赛的发展， 已逐渐形成一门特殊的数学 学科-竞赛数学，也可称为奥林匹克数学。竞赛数学是将高等数学下放到初等数 学中去，用初等数学的语言来表述高等数学的问题， 并用初等数学方法来解决这 些问题。因此特性，它对于学习高等数学有其有利的一面。现在，我将通过探讨 中学竞赛数论中的 5 个重点类型来初步了解数论的奥秘。 进而引发我们对更深层 次数论问题研究的兴趣，以下是本文主要研究和探讨的 5 个数论重点类型。 主要研究内
7、容：数学竞赛中数论问题 5 个重点类型1. 奇数与偶数；2. 约数与倍数、素数与合数；3. 平方数；4. 整除；5. 同余；研究途径和技术路线：1）在图书馆、网上收集资料并加以整理、修改和完善 2）参考别人的相关论文3）通过阅读相关书籍，提出自己的观点和想法 4）根据指导老师的要求修改论文四、工作的主要阶段、进度及完成时间第一至四周：通过查阅有关资料完成开题报告的书写并上交给老师审阅 第四至六周：指导老师审阅并批改开题报告 第七至八周：通过查阅相关资料开始写毕业论文，计划第十周交初稿 第十一周：将毕业论文交由指导老师审阅并修改 第十二周：根据指导老师的意见修改并整理毕业论文第十三周：毕业论文定
8、稿第十六周：毕业论文答辩五、参考文献1 华罗庚，数论导引，科学出版社， 1957.2 潘承洞、潘承彪，简明数论，北京大学出版社， 1992.3 周仲良译，基础数论，上海科学技术出版社， 1980）.4 于秀源译，数论入门，高等教育出版社， 1990）.5 数学教育概论张奠宙、宋乃庆， 主编 高等教育出版社， 2004 年10 月 第一版.6 历届希望杯全国数学邀请赛试题详解（初中二年级）气象出版社 2002 年 1月第一版 .7 历届希望杯全国数学邀请赛试题详解（高中二年级 ）气象出版社 2002 年 1月第一版 .8 最新高中数学竞赛试题分类精编，开明出版社， 2000 年 3 月第一版.9
9、 熊全安 . 初等整数论 .武汉：湖北人民出版社， 1982.10 敏泉 .数的整除性 .北京：科学普及出版社， 1957.11 陈景润 .初等数论（1）（2）.北京：科学出版社， 1980.12 李复中 .初等数论选讲 .长春：东北师范大学出版社， 1984.13 潘承洞，潘承彪 .初等数论 .北京：北京大学出版社， 1992.14 王杰官 .数论基础 .福州：福建科学技术出版社， 1987.潘承彪15 O.Ore,An Invitation to Number Theory ,Random House,1967（译 ），有趣的数论，北京大学出版社， 1985.16 柯召、孙琦，谈谈不定方程，上海教育出版社， 1980.
