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1、函数的单调性、极值与最值问题规范答题示 专题典例 (12分)已知函数f(x)=ln x+a(1x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围.一 i - -一，、 _,讨论 f x审题路线图 求f x - f x单调性 f x最大值 解f x max2a2 日勺付厅 规范解答分步得分构建答题模板.一 .1解(1)f(x)的定义域为(0, +8),，(x)=a(x0). x 若aw。，则f (x)0,所以f(x)在(0, +8)上单调递增.若 a0,则当 xC 0, 1 时，f (x)0;当 xC 1, + 8 时，(x)0时，f(x)在0, 1
2、上单调递增，在 1, +00上单调递减.6 aa分(2)由(1)知，当aW0时，f(x)在(0, +8)上无最大值，不合题意；,1 一，一当a0时，f(x)在x= 处取得取大值， 、a值为 f 1 = ln 1 +a 1-1 = In a+a 1. aaai . 1因此f a 2a 2等价于In a+ a 10.9分令 g(a)= In a+a 1,则 g(a)在(0, + 00)上单调递增，g(1)=0.丁是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1).12分第一步求导数：写出函数的定义域，求函数的导数.第二步7E符宁：通过讨论确7Ef (x)的符号.第三步写
3、区间：利用f (x)的符号确定函数的单调性.第四步求最值：根据函数单调性求出函数最值.评分细则(1)函数求导正确给1分；(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；求出最大值给2分；(4)构造函数g(a) = ln a+a1给2分；(5) 通过分类讨论得出a 的范围，给2 分跟踪演练9 (2018天津)已知函数f(x)=ax, g(x)=logax,其中a1.(1)求函数h(x)= f(x) xln a的单调区间；(2)若曲线y=f(x)在点(xi, f(xi)处的切线与曲线 y=g(x)在点(x2, g(x2)处的切线平行，证明2ln ln axi+g(x2)=-1(3)证明当aee时，存在直
4、线l,使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线 y=g(x)的切线.解 由已知得h(x)=axxln a,则 h (x) = axln a In a.令 h (x) = 0,解得 x=0.由a1,可知当x变化时，h (x), h(x)的变化情况如下表：x(00 , 0)0(0, +00)h (x)一0十h(x)极小值所以函数h(x)的单调递减区间为(一8, 0),单调递增区间为(0, +OO).(2)证明由f (x)=axln a,可得曲线y= f(x)在点(x1, f(x1)处的切线斜率为 ax要证明当aee时，存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y = g(x)的切线，只需 l
5、n a.由g (x)1 1 一，、一一八一，一一，=-7,可得曲线y=g(x)在点(x2, g(x2)处的切线斜率为；1工.因为这两条切线平行，所以 xin ax2in a* *1有 a ln a = x2ln a，即 x2ax1(ln a)1证明当aee时，存在xC( 8, + 8), x2 (0, +),使得l1与l2重合.1即只需证明当a ee时，下面的方程组有解=1,两边取以 a 为底的对数，得 logax2+xI+2logaln a=0,所以 x1+g(x2) =21n in a一 .in a证明 曲线y=f(x)在点(x，ax1)处的切线为i1： yax1 = ax1 in a(x
6、 x1).曲线y=g(x)在1点(x2, iogax2)处的切线为 i2： y- log ax2= xn a(x - x2).a、In a =x2ln ax1x,1a x1 a in a= logax2 jn-a，r1,、由得，x2 =；，代入,a，1n a 2得 ax1 x1a* 1n a + x1 + F+2ln ln a=o. 1n a In a1因此，只需证明当 aee时，关于xi的方程存在实数解.设函数 u(x)= axxaxin a+ x+21n 1n ain a in ai即要证明a ee时，函数u(x)存在零点.u (x)=1(ln a)2xax,可知当 xC(80)时,u (
7、x)0;当 xC(0, +8)时,u (x)单调递减，又 u (o) = 1o , u,2 = 1 in a1“一 一、2(in a)0,使得 u (xo)=0,即 1 (In a)2xoaxo = 0.由此可得u(x)在(8, xo)上单调递增，在(X0+ oo)上单调递减.u(x)在x = xo处取得极大值 u(xo).1因为 a ee,所以 in in a -1, .x x121n In所以 u(xo)=a -xoa 1n a+xo+K+F712in in a2+21n 1n a。xo in a 因此当aee时，存在xC (+xo+ in a in a .卜面证明存在实数t,使得u(t)1 + xln a,一(ln a)2x2+ x +1 +-+ln a“1 7 121n In a当 xK时，有 u(x)(1+x1n a)(1x1n a)+x+麻+nnv21n In aIn a 所以存在实数t,使得u(t)0.8 , + 8),使得 u(x1)= o.所以当aee时，存在直线1,使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线 y=g(x)的切线.
