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1、用不动点法构造辅助数列，求叽 E ()的通项公式专题讲义周潭中学周根虎一.函数不动点的相关概念1.若在函数y = f(x)定义域内存在,使得f(XQ) = XQ9则x = x叫做函数 y = /(V)的不动点.例：对于定义在R上的函数/(%),若实数满足/(x0) = %0,则称X。是f的不动点，若/(x) = x2 +ax + l存在不动点，求。的取值范围.解：设是/的不动点，贝U方程虹+小。+ 1 =.“有实根.即方程妃+ ( 1)工。+ 1 = 0的判别式 = (“一顶一4Z0,a _P*qI1,I Z +力1CX -1- /7人 ”2.若= 土一J定义域内存在不动点X0则满足财=fM
2、即 x + b的数列七的通项公式可以得到如下的结论:f眼=rah 即如z + 啊-】 + C% + O = 】。是等差数列;X = 竺g ,当方程有且仅有一根X。时，则1rr + /?当方程有两个相异的根X】、巧时，则是等比数列/经典案例分析一、不动点的只有一根时:口=2妇T =求该数列的通项公式.解：易知：ci = 2t T ,令工=2二1,则x2+2x + 1 = 0,解得，x = -l 因此，函数/（乃=段二1存在不动点.这样我们就可以把=竺匚1转化为令如=土，则i=k，M=T，所以，如=，即-L- = n-lfan-l一122%-12所以， =零二（n=2）又因为=g也符合上述通项，所
3、以=咨二=l）z/z /3Zn /Z7 1例题2：(% =2),求该数列的通项公式.。+3解：令 x = ，则 x5 - 2%+5 5 _ 25 4+1 一 T 77oT a,t -7 16-8% 44+2x+l = 0,解得，x = -lx + 3a. i_2+2 - 20+1)%+3%+3 (%+1) + 2即:=+ ，令仁=%】+1 % +1 2% +1则如h =如+ ?,且九=_1CL +13所以，b=-n- n 261=77-2二、不动点的有两个相异的根xl、x2时:3、设数列a9l满足 -16% + 2% +5 = 0=1,记如=了 （ 1） o求数列也的通项公式及数列%力的前n项
4、和。Cln 2解：由己知得。1 =空芸_，由方程工=*1兰，求出不动点= 2。16 - 8。,，16-8x2+5 11于n+l2 _ 16-8nn 2 _ 1 .”一万 2 - 41an -T1所以数列是公比为土的等比数列an 一 41 1所以一=I(土)1a -ci.-41 422”-仕51解得“ =, 4，=一 I *12 +43 a，t2ab=-+- 2t 3 3故数列%如的前n项和为例题4.已知数列0满足 = 1,皿，求七O +41阿,-1 1% + 4 281 解：由方程X=，求出唯一不动点工。=一，于是X +an+l _ -乙+412=r + ， 313 212所以数列p)是公差为
5、一的等差数列。 2所以aff a.22? + 5解得=。n 2 + 411,2 2 + 4r =r + (/?-!) -=1133例题5设数列%的前项和为S“，且方程xS. 1 S 1S 1 -all-x-ali = oW根为 S -1 ( N *)。求数列为的通项公式。分析：易得 / = ?,旦(S,l)2%(S“1) 。=0,将 L=S“-Sz 代入上式,得S” =. ,利用特征方程x = 解得x = l,可构造bn = -1-,则以=一2,2-S,t2-XStl-1列。故如=1,所以5n = + 1因此数列%的通项公式为。i 2 Si且如H= =- =T+ =1 +如,所以数列如是公差为1的等差数
