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1、焦点专题3 导数与函数综合问题(下)【基础盘点】1、函数的极值的导数求法： (1)可导型(光滑型)：求函数的导数，解方程 ，检验在该方程的根的左、右两旁的单调性，即的 ，确定其对应的极值；xyOx1x2x3x412.522.25 (2)不可导型(尖锐型)：画出函数的图象，看左右两旁的函数值是否比某值小或大，确定其极值.如图，已知函数的图象如图所示，则的极大值为 ，有 个极小值.2、函数的最值的导数求法与运用：最值的求法： 比较 值与 而定，若函数在区间上的最大值为，则对，必有 ，若最小值为，则对，必有 .【例题精选】【例1】(1)函数在上的最小值为 【题情捉摸】(1)求函数的导数 ；(2)判断
2、在上的正、负，从而得 在上的单调性，于是得其最小值.(2)已知是奇函数,当时,当时,的最小值为,则的值等于 【题情捉摸】(1)是奇函数,知它的图象关于 对称； (2)当时,的最小值为,推知在上的最 值为 ； (3)用导数判断在上的单调性,知 ,解得 .【例2】已知函数.(1)若函数在区间上为增函数,求实数的取值范围;(2)若是函数的极值点,求函数在区间上的最大值;(3)在(2)的条件下,是否存在实数,使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点?若存在,请求出的取值范围;若不存在,试说明理由.【题情捉摸】(1)在区间上为增函数 恒成立，得 ； (2)是函数的极值点 ，得 ， 有 ，算得极值与端点值分
3、别为 ， 比较知函数在区间上的最大值为 ； (3)在(2)的条件下,知有 个不相等的实数根，且可发现有一实根 ，于是只需考虑方程 有两个非零实数根即可.【真题回顾】1、(2010重庆文)已知函数(其中常数),是奇函数.(1)求的表达式;(2)讨论的单调性，并求在区间1,2上的最大值和最小值.2、(2009广东文)已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得最小值,设函数.(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.【名模精选】3、(2010茂名二模文)已知是的导函数，且函数的图象过点. (1)求函数的表达式； (2)设在点处的切线与轴垂直，求
4、的极小值.4、(2010湛江一模文)设函数，其中为常数(1)证明：对任意，的图象恒过定点；(2)当时，判断函数是否存在极值？若存在，证明你的结论并求出所有极值；若不存在，说明理由5、(2010深圳二模文)已知函数，其中是自然对数的底数.(1)求函数的图象在处的切线方程;(2)求函数在区间上的最大值与最小值6、(2010惠州二模文)设函数，(1)对于任意实数，恒成立，求的最小值；(2)若方程在区间有三个不同的实根，求的取值范围 【参考答案】【例1】(1)解：当时,为减函数,.(2)解：是奇函数,在上的最大值为,当时,令得,又,.令时,在上递增;令时,在上递减;,得.【例2】解:(1),由在区间上
5、是增函数,则当时,恒有,即在区间上恒成立.在上恒成立,而在上为增函数,实数的取值范围是.(2)依题意得,则,解得而,，故在区间上的最大值是.(3)若函数的图象与函数的图象恰有3个不同的交点,即方程恰有3个不等的实数根.而是方程的一个实数根,则方程有两个非零实数根,则即且.故满足条件的存在,其取值范围是.1.解：(1)由题意得有，又是奇函数，得有从而得的表达式为；(2)由(1)知，有，令，得，当或时，在，上均为减函数；当时，在区间上是增函数.由前面讨论知，在上的最大值与最小值只能在时取得，而因此在上的最大值为，最小值为2、解:由,得 当时,方程有一解,函数有一零点;当时,方程有两解,(i)若,函
6、数有两个零点,;(ii)若,函数有两个零点,;当时,方程有一解,函数有一零点.综上所述,当,时,函数有一零点;当,或,时,函数有两零点;当,时,函数有一零点.3.解：(1)由已知得，又，得，；(2)，又，由，由，解得；由，解得，则的单调增区间是，单调递减区间是故极小值为.4.解：(1)令，得，且，所以的图象过定点；(2)当时，令，经观察得有根，下证明无其它根，当时，即在上是单调递增函数所以有唯一根；且当时，在 上是减函数；当时，在上是增函数；所以是的唯一极小值点极小值是5.解: (1)因为 ,，所以函数的图象在处的切线方程为即(2)由(1)得函数的取值情况列表如下：极大值极小值函数在区间上的最
7、大值，最小值.,6.解： (1)，对称轴，即的最小值为4；ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u(2)令，+0-0+增极大减极小增当时，随变化如右表在区间有三个不同的实根，解得,+0-0+增极大减极小增ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u当时，随变化如右表ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u在区间有三个不同的实根,解得，ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u又,ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u当时，递增,不合题意,ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u当时,在区间最多两个实根，不合题意,ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u综上：实数的取值范围.2
