大一高数知识点

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1、第一章 基础知识部分&1.1 初等函数一、函数的概念1、函数的定义 函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系 的数学模型。设有两个变量 x 与 y，如果对于变量 x 在实数集合 D 内的每一个值，变量 y 按照一 定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x 是自变量 ，y 是 x 的 函数 ，记作 y=f（x），其中自变量 x 取值的集合 D 叫函数的 定义域 ，函数值的集合叫做函数的 值域 。2、函数的表示方法（1）解析法即用解析式 （或称数学式） 表示函数。 如 y=2x+1, y= x ，y=lg（x+1）,y=sin3x 等。 便于对函数进行精确地计算和深

2、入分析。（2）列表法 即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。 便于差的某一处的函数值。（3）图像法 即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。分段函数 即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如2x 1,x 01 xsin , x0yfxx2x1, x 00x0隐函数相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、 y 之间的函数关系式是由一个含 x，y的方程 F（x,y）=0 给出的，如2x+y-3=0 ，ex y x y 0等。而由 2x+y-3=0 可得 y

3、=3-2x ，即该隐函数可化为显函数。x t ，参数式函数 若变量 x,y 之间的函数关系是通过参数式方程 t T 给出的，yt这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程， t 称为参数。反函数 如果在已给的函数 y=f（x） 中，把 y 看作自变量， x 也是 y 的函数， 则所确定的 函数 x= （y） 叫做 y=f（x） 的反函数，记作 x=f 1（y） 或 y= f 1（x）（ 以 x 表示自变量 ）.二、函数常见的性质1、单调性 （单调增加、单调减少）2、奇偶性 （偶:关于原点对称， f（-x）=f（x）；奇：关于 y轴对称， f （-x ）=-f（x）. ）3、周期性 （T

4、为不为零的常数， f （x+T）=f（x），T为周期）4、有界性 （设存在常数 M0，对任意 xD，有 f （x） M,则称 f（x） 在 D 上有界 ， 如果不存在这样的常数 M，则称 f（x） 在 D上无界 。5、极大值、极小值16、最大值、最小值三、初等函数1 、基本初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为 基本初等 函数。(图像、性质详见 P10)2、复合函数 如果 y 是 u 的函数 y=f(u), 而 u 又是 x 的函数 u= (x) ，且 (x) 的值 域与 f(x) 的定义域的交非空，那么 y 也是 x 的函数，称为由 y=f(u) 与 u=

5、 (x) 复合而成的 复合函数 ，记作 y=f( (x) 。3、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的，并 且能用一个数学式子表示的函数，称为 初等函数。四、函数关系举例与经济函数关系式1、函数关系举例2、经济函数关系式( 1)总成本函数 总成本 =固定成本 +变动成本 平均单位成本 =总成本 / 产量( 2)总收益函数 销售总收益 =销售价格产量 (3)总利润函数 总利润 =销售总收益 - 总成本( 4)需求函数 若其他因素不变，需求量 Q=f(P)(P 为产品销售价格 )&1.2 函数的极限一、数列的极限对于无穷数列 an ，当项数 n无限增大时，如果 an无限

6、接近于一个确定的常数 A，则 lim称 A为数列 an的极限 ，记为an = A ，或当 n时， anA。n nlim 1 lim若数列 a n存在极限，也称数列 a n收敛，例如1 0 ， C C(C为n n n常数)，qn = 0(q 1) 。n若数列 a n没有极限，则称数列 an 发散。 数列极限不存在的两种情况：n1 ( 1)数列有界，但当 n时，数列通项不与任何常数无限接近，如：1n 1 ；( 2)数列无界，如数列 n2 。二、当 x0 时，函数 f ( x )的极限 如果当 x 的绝对值无限增大 (记作 x) 时，函数 f(x) 无限地接近一个确定的常数limA，那称 A为函数

7、f(x) 当 x时的 极限，记作 lim f x A，或当 x时， f(x) A。x单向极限定义 如果当 x 或 x时，函数 f(x) 无限接近一个确定的长寿时得极限，记作湖 A，那么称 A 为函数 f(x) 当 x 或 xlim limf x A f x A 。 xn2三、当 X Xo时，函数 f (x)的极限1、当 XXo 时，函数 f(x) 的极限定义如果当 x 无限接近 Xo(记作 X Xo)时，函数 f(x) 无限接近于一个确定的常数A，则称limA为函数 f(x) 当 XXo时的 极限，记作 lim nf x A，或当 X Xo时， f(x)A。2、当 XXo 时，函数 f(x)

8、的左极限和右极限如果当 X Xo(或x x0 )时，函数 f(x) 无限接近一个确定的常数 limA，则称函数f(x) 当 XXo 时的左极限(右极限)为 A，记作 lim f x x x0A。x0四、无穷大与无穷小1、无穷大与无穷小的定义如果当 X Xo时， f(x) 0，就称 f(x) 当 XXo时的无穷小 ，记作limx 0 ；如xx0果当 X Xo 时， f(x) 的绝对值无限增大，就称函数 f(x) 当 X Xo 时为 无穷大 ，记作limf x 。其中，如果当 X Xo时， x x0f(x) 向正的方向无限增大，就称函数 f(x) 当 X；如果当 XXo 时， f(x) 向负的方向

9、无限增大，limfx x x0limXo 时为正无穷大 ，记作f xx x0就称函数 f(x) 当 XXo时为 负无穷大 ，记作2、无穷小与无穷大的关系1在自变量的同一变化中， 如果 f(x) 为无穷大， 那么为无穷小； 反之， 如果 f(x)f(x)1为无穷小，那么 1 为无穷大。f(x)根据这个性质，无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。3、无穷小的性质性质 1： 有限个无穷小的代数和为无穷小；性质 2： 有限个无穷小的乘积为无穷小；性质 3： 有界函数与无穷小的乘积为无穷小。4、无穷小的比较设 a 与 b 是自变量同一变化中的两个无穷小，记作 a=o(b) ；a(1) 如果 lim =0

10、，则称 a 是比 b 低阶 的无穷小；b(2) 如果 lim a = , 则称 a 是比 b 高阶 的无穷小；b3(3) 如果 lim a =c(c 为非零的常数 ), 则称 a 是比 b 同阶 的无穷小。b特别的，当 c=1, 即 lim a =1 时，称 a 与 b 是等阶 无穷小，记作 ab。b&1.3 极限运算法则法则一若 lim u=A， lim v=B ，则lim(u v)=lim ulim v=A B;法则二若 lim u=A， lim v=B ，则lim(u v)=lim ulim v=A B；法则三若 lim u=A， lim v=B ，且B0，则limu = lim u =

11、Av limvB推论若 lim u=A， C 为常数，kN，则(1)lim C u=C lim u=C A；(2)limuk = (lim u) k =A k注 运用这一法则的前提条件是 u 与 v 的极限存在(在商的情况下还要求分母的极限不 为零)。&1.4 两个重要极限limsin x一、=1x0xlim1x二、1=exx&1.5 函数的连续性、函数连续性的概念1. 函数在某点的连续性limx0) ，则称函数 f(x) 在点 x0若函数 f(x) 在点 x0 及其左右有定义， 且 lim f(x)=f( x x 0处连续 ， x0为函数 f(x) 的连续点 。 理解这个定义要把握三个要点：

12、( 1) f(x) 要在点 x0 及其左右有定义；2)limx x0f(x)要存在3)lim f(x)= f(x0)。xx0增量4x=x- x0y= f(x)- f(x0)设函数 f(x) 在点 x0及其左右有定义，如果当自变量x 在点 x 0处的增量 x 趋近于零时，相应的函数增量 y 也趋近于零， 即 lim y 0 ，则称函数 f(x) 在点 x0处连续 ，x0 x0为 f(x) 的连续点 。2. 函数在区间上的连续性、连续函数如果函数 f(x) 在区间( a， b)上每一点上连续，则称函数 f(x) 在区间( a，b)上连 续。如果函数 f(x) 在某个区间上连续，就称 f(x) 是这

13、个区间上的 连续函数 。 二、连续函数的运算与初等函数的连续性1. 连续函数的运算 如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、差、积、商(分母不为零)在这一点也 连续。设函数 u在点 x0处连续，且 u0x0 ，函数 y=f(u) 点 u0处连续，那么复合函数 y f( x0 ) 在点 x 0处也连续。2. 初等函数的连续性初等函数在其定义域内是连续的。第二章微分与导数&2.1 导数的概念设函数 y=f(x) 在点 x0 处及其左右两侧的小范围内有定义，当x 0 时，若 y 得极限x存在，则称y=f(x) 在点 x0处可导 ，并称此极限值为函数y=f(x)点 x0 处的导数 ，记作x0limyl

14、im f xx 0 xx 0x0 ，还可记作yx x0或ddyx，dy ，dx 函数 f(x)在点x0可导且 f ( x0)=A 等价于 f ( x0) 和f( x0) 都存在且等于 A，即x0 Ax0x0A。根据这个定理， 该点的导数就不存在。函数在某点的左、 右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等，&2.2 导数的四则运算法则和基本公式5、导数的四则运算法则f -1 y 在对应区若函数间内可导，且 f-1 y，或 yxxx y 1。设函数 u=u(x) ， v=v(x) 都可导，则(1)uvuv；(2)(u?v)=uv+u，特别的，(ku) =k u,其中k 为常数。(3)若v0，则uu v uv，特别的，kk v