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1、大学本科毕业论文勾股定理证明综述学生姓名院系名称专业名称班 级学 号指导教师完成时间2013年5月1日勾股定理证明综述 摘要：勾股定理是初等几何的一个基本定理，是学习几何过程中应用最广泛的定理之一，它对于研究和解决几何问题具有十分重要的作用。其实质是揭示直角三角形三边的数量关系。 本文主要综述了运用数形结合和出入相补原理证明勾股定理的方法，以及逻辑推理法、图形重新排列法、梯形面积法、相似三角形法、反证法等方法证明勾股定理。同时通过实例介绍了一些数学思想方法在解决勾股定理问题中的应用。从而让大家对勾股定理有一个更深入的认识。关键词：勾股定理 证明方法 数学思想 The Survey for Go
2、uGu Theorem iAbstract: GouGu theorem is a fundamental theorem of elementary geometry. It is one of the most widely used theorem in the process of geometric theorems. It plays a very important role in studying and solving geometric problems. The essence of it is to reveal the relationship of the numb
3、ers of right-angled triangle triangular.This article focuses on using number shape union and access complementarity principle to prove the GouGu theorem. Besides, logical reasoning, graphics rearrange method, trapezoidal area method, similar to the triangle method, reduction and absurdity are also u
4、sed to prove the GouGu theorem. At the same time introduces some mathematical thinkings via examples of the application of in solving the GouGu theorem. So that people can have a more in-depth understanding of the GouGu theorem.Key words: GouGu theorem The method of proof Mathematical thinking目录绪论11
5、勾股定理11.1勾股定理11.2勾股定理的历史12勾股定理的证明22.1中国数学家证明勾股定理的方法32.1.1赵爽的弦图法32.1.2刘徽“青朱出入图”32.1.3梅文鼎的证明方法42.1.4李锐的证明方法52.1.5杨作枚的证明方法62.1.6张景中的证明方法72.2外国数学家证明勾股定理的方法72.2.1毕达哥拉斯的图形重新排列证法72.2.2古希腊数学家欧几里得的逻辑推理法82.2.3美国总统加菲尔德的梯形面积法82.2.4英国数学家佩里哥尔的证明92.2.5婆什迦罗(Bhaskara)的证明102.3其他证明方法102.3.1利用反证法证明10 2.3.2利用圆的切割线定理证明112
6、.3.3作直角三角形内切圆的证明112.3.4利用多列米定理证明123勾股定理证明方法分析124勾股定理与数学思想的结合134.1勾股定理与数形结合思想134.2勾股定理与方程思想134.3勾股定理与分类与整合思想144.4勾股定理与建模思想144.5勾股定理与转化思想144.6勾股定理与类比思想15总结15 勾股定理证明综述绪论 勾股定理有着十分悠久的历史，几乎所有的文明古国（中国、埃及、巴比伦、希腊、印度等）都对此有所研究。对勾股定理的研究程度，可以用来衡量一个民族的数学文化水平。 对于勾股定理的来源，世界各国各民族有着不同的记载。自古至今，勾股定理引得古今中外无数数学家为之着迷，使得勾股
7、定理在世界数学史上树立了独特的地位。它以简洁直观，形象优美的形式，丰富深刻的内容，展现自然界的和谐美。1勾股定理1.1勾股定理欧几里得的几何原本将勾股定理表述为“在直角三角形中，直角所对边上的正方形等于夹直角两边上的正方形的和。”（这里所说的相等是拼补相等，即将直角边上的两个正方形分成若干份，可以拼接成斜边上的大正方形。）1现在我们常将此定理表述为“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，用符号语言来表述就是.1.2勾股定理的历史在早期的人类活动中，人们就已经认识到了勾股定理的一些特例。相传古埃及人就曾利用“勾三股四玄五”的法则来确定直角。据传说，他们有拉绳人（测量员），但相传他们在绳上打
8、结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，然而从未在任何记载上得以证实。11不过据考古学家们发现的几块古巴比伦泥版书（约完成于公元前2000年）考证，其中一块泥版上面刻有这样一个问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三角形三边比为3:4:5的特殊例子；不仅如此，在另一块泥版上刻着一个奇特的数表，这是一个勾股数表。表中共刻有四列十五行数字，最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。11从这我们可以清楚看到，人类对勾股定理早已有了一个初步的认识。我国的一部数学
9、著作周髀算经（约公元前1世纪成书）中，记载一段公元前1000多年前周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“折矩以为勾广三，股修四，径隅五”。2这就是我国至今可查的关于勾股定理特例的最早记载，同时也说明至少在公元前11世纪我国人民就已经知道“勾三股四弦五”这一勾股定理的特例了。正是由于勾股定理的内容最早出现于商高的话中，因而人们就把这个定理称为“商高定理”。商高提出的是勾股定理的特例，对于它的一般形式的提出就归功于陈子了，在周髀算经中还记载了陈子与荣方的一段对话“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股。勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”2因此，也有人将它称为“陈子定理”。接着，在唐代，
10、九章算术（算经十书之一）第九章“勾股”专门叙述了勾股定理以及利用勾股定理来求解各种应用问题的方法。之后，张邱建算经（于5世纪中叶成书，算经十书之一）、朱世杰所著的四元玉鉴（1303年）等书中一再出现勾股定理的有关问题。由此观之，中国古代的数学家们，很早就发现并应用勾股定理。不仅如此，伟大的数学家们还对勾股定理做出了理论的证明。最早对此定理进行证明的是赵爽（公元3世纪初三国时代吴国数学家），他自创了一幅“勾股圆方图”,用出入相补的原理、数形结合的方法，既直观又严密地给出了勾股定理的证明。为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密联系的独特风格树立了一个典范。之后的很多数学家便继承了这一风格并且
11、有所发展。例如数学家刘徽证明此定理时，除了具体图形的拼补不同外，实质也是用以形证数的方法。中国古代数学家们对于勾股定理的发现、应用和证明，在世界数学史上占有重要的地位。2002年于北京召开的世界数学家大会的会标中央图案正是以“弦图”为原型制作，标志着中国古代数学的成就。在西方，这一定理常被称为“毕达哥拉斯定理”。这源于希腊一位数学家欧几里得（Euclid，公元前330公元前275）在编著几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯（Pythagoras，公元前572公元前497）最早发现的。据说，毕达哥拉斯学派为庆祝这一定理的发现，还杀了一百头牛以示庆贺。因而，这个定理也被称为“百牛定理”。32勾股定
12、理的证明勾股定理是几何学中一颗璀璨的明珠，它是几何学的基石。对于勾股定理的证明方法，几千年来中外的许多人士对此的兴趣从未间断，因而产生了形式各异的证明方法。一位叫鲁米斯的数学家搜集各种证明方法，于1940年出版的毕达哥拉斯命题一书，记载有370种证法。31978年，刘毓璋在台湾出版名为易经之数理思想的著作，中给出他“搜集及自己创造发明” 的证法85种。如今，勾股定理的证明方法已不下500种了，堪称为已知证法最多的数学定理。这些证明方法大都把代数知识与几何知识相结合，充分体现了数学思想中数形结合的魅力，转化思想的巧妙。在此，选取几种典型的证明方法，一览勾股定理的奥妙。2.1中国数学家证明勾股定理
13、的方法2.1.1赵爽的弦图法12 图1赵爽为周髀算经作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。直角三角形中，两直角边分别为、 （），以为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如(图1)所示的形状。 因为, 所以.由于，因而，所以，四边形是一个边长为c，面积为的正方形。又因为,且.所以，四边形是一个边长为，面积为的正方形。从而，.因而，即证明了勾股定理。2.1.2刘徽“青朱出入图”13 图2三国时代魏国数学家刘徽在为九章算术作注释时，利用“出入相补原理”证明了勾股定理。可惜图已经失传，只留下了一段文字：“勾自乘为朱方
14、，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”2图2是后人根据这段文字制作的图。为具体说明，作如下证明解析：先将移到的位置，然后将移到 的位置，再将移到的位置，得到：,即,即证明了勾股定理。2.1.3梅文鼎的证明方法12图3作四个全等的直角三角形，设两条直角边分别为、，斜边为.把它们拼成把它们拼成如图3那样的一个多边形，使、在一条直线上。过作的延长线交于点.由、在一条直线上, 且,得，因为.从而,又因为，所以，四边形是一个边长为的正方形。则.又有 ,所以.从而,即.又因为，,，,所以，四边形是一个边长为的正方形。同理，四边形是一个边长为的正方形。设多边形的面积为，则，,所以，即证明了勾股定理。2.1.4李锐的证明方法12 图4设直角三角形两直角边的长分别为、，斜边的长为.做三个边长分别为、的正方形，把它们拼成如图所示形状，使、三点在一条直线上。用数字表示面积的编号如(图4)。证法如下:因为，所以 .又因为 ，所以 .因而，所以.又由于，从而.因为,，所以， , 即.过作，垂足是.由，可知 ，而，从而 .又因为，
