《电磁场与电磁波理论(第二版)第3章习题解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场与电磁波理论(第二版)第3章习题解答（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1解:2(x, y, z)=Ax +Bx+C；中 I： p, ,z ：,：-A ?2sin : 已知空间的电位分布，由E =；(4)和YJ =2)J-E4E 4E(2)-中-eX 2Ax B- -A eXyz eyxz ezxy-/.：，- _ e：(2A：sin ： Bz)G(x, y,z)= Axyz；一(r,8严)= Ar2 sin8cos今。-P / %可以分别计算出电场强度和体电荷密度。?=-二0t 2力=-2A ；0.2 ._ 二0%- : .j -0e A：cosezBi I3.5解:(4)：=-小2：, = -；0Bz4Asin AsinP3AsinBz=一 弓 2Ar s
2、in i cose_Ar cosi cos -e Ar sinP = -与=-s0 . 6Asin 9 cos9 +如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面,试求球心处的电位。上顶面在球心产生的电位为Acos2 cos : Acos :其上均匀分布着密度为 PS0的面电荷。P ,1 T(N2Ri2 -di)2 ；0下顶面在球心产生的电位为题3. 5图：S02；o(d2R22 2)=(R-d2)第3章习题解答对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度:LS0 _ XSR 4吟R。I，？ I& R；0侧面在球心产生的电位为中-13一,.4冗，02式中S=4tR-2tR(Rd1)2tR
3、(Rd2)=2:iR(d1+d2)。因此球心总电位为3.6B名=2%和8=54的两种介质分别分布fz0和zc0的半无限大空间。已知z0时，E=220-&10+M50V/m。试求z0时的D。解:由电场切向分量连续的边界条件可得E1t=E2t二z：0Dx=5；。20Dy-5；。10代入电场法向方向分量满足的边界条件可得Din=D2n=z:二0Dz=50于是有z：0D=ex100；0-ey50；0ez503.9如题3.9图所示，有一厚度为2d的无限大平面层，其中充满了密度为xP(x)=P0cos的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层d之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。解：由对称性
4、可知d2：，；:z2dx2O设各区域中的电位和电场强度分别为E2E3o由电位所满足的微分方程解得dxd2：J1dx2cosI一dd2：，2dx2d23dx2：0d.sinz冗Cid：，2dx二C2d：3dx二C3cosICxD1d=C2xD2由于理想介质分界面没有面电荷，所以边界条件为J1=/2dd：,2x=d时dx,dk0dxd：3dxdx又根据对称性可知，在x=0的平面上,电场强度是为零的，即x=0时,d:dx最后再选择零电位参考点使得x=0时，61(0)=0。联立解得C1=C2=C3=0Di：d2D2=D32：d2dd.d：J只要利用E=一寸e-ex就可以得到dxxd 时,02选择不同的
5、零电位参考点，得到的电位不同，但电场强度仍是相同的。根据对称性只需求出XA0的解，即1和2=中33.10位于x=0和x=d处的两个无限大导电平面间充满了P=P0(1+x/d)的体电荷。若将x=0处的导电平板接地，而将x = d处的导电平板加上电压 解：由于无限大导体极板之间电荷分布是只与一维泊松方程U0。试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。X有关,忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x有关，且满足其通解为d2：，dx26 ；0d0- x2C1x C2由中(0)=0= C2 =0而由1(d) =U0c U。2：dC1 -d 3;0因此板间电位分布为(x)-：03x6；0d：0x2力U Jpd
6、板间电场强度为EJV缈)】% d3%从该式可以求出电场强度为零的位置为 0一b4b2-4ac ；0x 二二2a. J(U0 2叫2 ；0dd3 ；0二d _ d, 0. 2-(U0.2：?0d)”dd 3 ；0；d由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为2 ；0 U 02 P0dx-d d . 1 0 ( 00 ):0d d 3 ；03.11如题3.11图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质鸟和与。当两极板之间外加电压U0时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。解：对于图a：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x有关，均满足一维拉普拉斯方程。且由介质分界面的
7、边界条件可知，两种介质中的电位分布是相同的，其通解为i=Cx D根据已知条件 中田=0和G|xHd =U0 ,解得D =0和U0C ,即平板电容器中的电位分布为2d:一x根据E=-，可以得到平2；电容器中的电场分布为题3.11图E = ：=0 丁 = -Gdx2d对x =0平板上en =ex,面电荷密度分别为总电量为电容器的电容为S = en D = en ； E =U0-1 2d%一 2 2dQ = ；1U0 S ；2 U0S =-；1 ；212d 2 2d122IU0S2d根据已知条件中1 Xz0=0和6=U0,以及分界面处的边界条件1 xd2 xd工：:1和jx可x -dCQC二U。对于
8、图b：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x有关，均满足一维拉普拉斯方程。两种介质中的电位分布的通解可以分别设为1=C1x+D1和62=C2x+D2以解得根据E = %I：、=；2U 0 x11,；2 d,可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为E1 - J1对x = 0平板上en d：-：J1:!；2 U0= 一ex=ex-dx；1；2 d=ex,面电荷密度为Ps = en D = en ；i E = -ex总电量为电容器的电容为C_a.CU0U04 d：U。；i . ；2 d1 2 2S U 0 “；2 d22S3.12已知在半径为a的无限长圆柱形体内均匀分布着电荷密度为12dp0的体电
9、荷。dx圆柱体内外的介电常数分别为和得。若取圆柱体的表面为零电位的参考面，试利用直接积分法求出圆柱体内外的电位和电场强度。解：取定圆柱坐标系，使 z轴与圆柱体的中心轴线相重合，由电位和电场的对称性可知 体内外的电位 中1和2分别满足与中和z无关。圆柱1 dpdd 0 科1_d_Pdh dP j它们的通解可以分别表示式为P力 1二-：2C1ln ： , D14；和 ；2 =C2In ：D2由轴线上的电位应为有限值可得C1 =0。而由圆柱体的表面电位为零可得：02一 a4 ；Di =0C21n a D2 =0于是有D1D2-C2Ina2=C2Ina3.13解：代入圆柱体表面电位的法向导数的边界条件
10、名吧I =zQ得到fa/C2 ,即C2 =-幽小 I- d -2 a2玩最后得到圆柱体内外的电位分别为而圆柱体内外的电场强度分别为-；-2_2_和 h = -*ln 二2；oa二 ， d：i ；0：力E1 =一中 1 = -e 0= e 口 和d ： 2 ；024 d。，2 1 0a-e?二 e.-d：2”如题3.13图所示，半径为a的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为 自。其 一半埋于介电常数为 名的介质中，一半露在空气中。试求各处的电位和电场强度。根据题意，空间中电位分布与 中和z无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即=0将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为中1 0-C1 ln ： D1和
11、 匕=-C21n ：D2根据不同介质分界面电位的连续性可知C1=C2=C和D1=D2=D,即若设无限长导体圆柱上电位为导体圆柱的面电荷密度为单位长度导体圆柱的电量为：.：，1 =：1，2 =：，=C ln ： D0,也即（a） = 0 ,可得D = Cln a ,即:，=C1n ;aC JaC （介质中）S-&0C （空气中）耳=名C a %C皿题3. 14图：1于是得到导体圆柱外的电位和电场强度分别为,旦a一一,*R=1n和E=-=ep-X0+s)pK&0+a)P3.14解：如题3.14图所示同轴电容器，其中部分填充了介质5 ,其余是空气。当外加电压U。时，试求电容器中的电位和电场强度的分布
12、以及单位长度的电容。根据题意，空间中电位分布与 中和z无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即3,1V 2：二，2=0=1_d_ :dr将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为孰=-C1lnP+D1和62=_C21np+D23；根据不同介质分界面电位的连续性可知C1=C2=C和D1=D2=D,即中1=：二,2门=和叫性=Uo可得到D - -C 1n aU0 =C 1nb D可以解得bC =Uo /1n I b o a因此电容器内电位和电场强度的分布分别为D - -Uo 1n a/ 1n I b IoaUo1n a和 E 二：，4 d-通于Uo 1Uo1n a_(2 %-e)%U01n因la ),1b1Uo1nUobVb?o(1n , 一 la J利用%=且D可以计算出电容器内面电荷密度分布为0U0,b1nIa那么单位长度总电荷为因此单位长度的电容为Uo11n a1223.15在介电常数为6的无限大介质中，均匀分布体密度为Po的电荷。若在该介质中挖了一个半空为R
