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1、综合测试一、填空题1 （*）已知集合，则= 2 （*）复数（为虚数单位）的实部是 3 （*）函数的最小正周期是 4 （*）在平面直角坐标系中，直线与直线互相垂直的充要条件是= 5 （*）设向量满足：，则= 6 （*）数列中，对于，总有，则 7 （*）在平面直角坐标系中，点在曲线（为实数）上，已知曲线在点处的切线方程为，则 8 （*）双曲线上的点到点的距离是，则点的坐标为 9 （*）定义符号函数，则不等式的解集是 10（*）已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为，则 11（*）已知直线与圆相交于两点，若点在圆上，且有（为坐标原点），则实数= 12（*）如图，在多面体ABCDEF中，已知面
2、ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为 13（*）已知在三角形中，角的对边长分别为，角，若，则= 14（*）设函数，其中，是给定的正整数，且，如果不等式在区间有解，则实数的取值范围是 二、解答题15（*）已知（1） 求的解析式及其最小正周期；（2） 求的单调增区间.16（*）PECBADO如图，四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，且分别为、的中点求证：（1）平面；（2）平面平面17（*）已知椭圆的左、右焦点分别为，其右准线上上存在点（点在 轴上方），使为等腰三角形求离心率的范围；若椭圆上的点到两焦点的距离之和为，求的内切圆的方程18（*）如图，为处
3、理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出设箱体的长度为米，高度为米已知流出的水中该杂质的质量分数与的乘积成反比现有制箱材料60平方米问当各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)19（*）已知数列的前n项和为，数列是公比为2的等比数列（1）证明：数列成等比数列的充要条件是；（2）设若对恒成立，求的取值范围20（*）已知函数（）若有两个不同的解，求的值；（）若当时，不等式恒成立，求的取值范围；（）求在上的最大值.参考答案：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、9、 10、 11、 12、 13、 14
4、、15（1） （2） 令 则 所以单调增区间为 16（1）证法一：连接AC因为四边形ABCD为矩形，所以AC过点O，且O为AC的中点又因为点E为PC的中点，所以EO/PA因为PA平面PAD，EO平面PAD，所以EO面PAD证法二：取DC中点F，连接EF、OF因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EF/PD，OF/BC在矩形ABCD中，AD/BC，所以OF/AD因为OF平面PAD，AD平面PAD，所以OF/平面PAD同理，EF/平面PAD因为OFEFF，OF、EF平面EOF，所以平面EOF/平面PAD 因为EO平面OEF，所以EO平面PAD证法三：分别取PD、AD中点M、N，连接EM、ON、M
5、N因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EMCD，ONAB在矩形ABCD中，ABCD，所以EMON所以四边形EMNO是平行四边形所以EO/MN因为MN平面PAD，EO平面PAD，所以EO面PAD （2）证法一：因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD， 所以CD平面PAD又因为CD平面PDC，所以平面PDC平面PAD证法二：在平面PAD内作PFAD，垂足为F因为平面PAD平面ABCD，所以PF平面ABCD因为CD平面ABCD，所以PFCD 因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD因为PFADF，所以CD平面PAD又因为CD平
6、面PDC，所以平面PDC平面PAD17由题意有 2分设,由为等腰三角形,则只能是,又，即,所以 6分由题意得椭圆的方程为，其离心率为，此时 由，可得 10分设内切圆的圆心，因为为等腰三角形，所以的内切圆的圆心点到的距离等于点到轴的距离，即， 由点在直线上，所以， 由可得所以的内切圆的方程为16分 18解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小根据题设，有4b2ab2a=60(a0，b0)， 得 (0a30， 于是 当a2=时取等号，y达最小值 这时a=6，a=10(舍去)将a=6代入式得b=3故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水
7、中该杂质的质量分数最小解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大由题设知 4a2ab2a=60 (a0，b0) 即 a2bab=30 (a0，b0) a2b2， 2ab30，当且仅当a=2b时，上式取等号由a0，b0，解得0ab18即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值18 2b2=18解得b=3，a=6故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小19解：（1）因为数列是公比为的等比数列，所以=，即因为，所以，显然，当时，=4充分性：当时，所以对，都有=4，即数列是等比数列；必要性：因为数列是等比数列，所以，即，解得。（2）当时，当时，当为偶数时，恒成立。即恒成立，故。
8、当为奇数时，且恒成立。由知，得由的奇数成立得，恒成立。即恒成立，所以恒成立因为当对的奇数时，的最小值为，所以又因为，故综上所述，对恒成立时，20解：（）方程，即，变形得，显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程“有且仅有一个不等于1的解”或“有两解，一解为1，另一解不等于1”结合图形，得或（）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，当x=1时，（*）显然成立，此时 当x1时，（*）可变形为，令，因为当x1时，；而当x1时，. 所以，故此时综合，得所求的取值范围是 （）因为=, 当时，结合图形可知h(x)在-2，1上递减，在1，2上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a
9、+3，经比较，此时h(x)在-2，2上的最大值为当时，结合图形可知h(x)在-2，-1，上递减，在，1，2上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，经比较，知此时h(x) 在-2，2上的最大值为 当时，结合图形可知h(x)在-2，-1，上递减，在，1，2上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，经比较，知此时h(x) 在-2，2上的最大值为 当时，结合图形可知h(x)在，上递减，在，上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，经比较，知此时h(x) 在-2，2上的最大值为 当时，结合图形可知h(x)在-2，1上递减，在1，2上递增，故此时h(x) 在-2，2上的最大值为h(1)=0综上所述，当时，h(x) 在-2，2上的最大值为；当时，h(x) 在-2，2上的最大值为；当时，h(x) 在-2，2上的最大值为0
