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1、圆锥曲线的方程与性质1 .椭圆(1 )椭圆概念平面内与两个定点 Fi、F2的距离的和等于常数2a (大于IF1F2I)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若 M为椭圆上任意一点，则有| MFj | | MF2 |2a。上)。椭圆的标准方程为:22xy T2ab0)(焦点在x轴上)2x21 ( ab2(焦点在注：以上方程中a,b的大小a b 0，其中b2a2221 和 y_2. 2a b1两个方程中都有a0的条件，要分清焦点的位置，只要看x2 和 y2的分母的大小。例如椭圆x22ynm 0, n 0, mn )当m n时表示焦点在x轴上的椭圆;表示焦点在y
2、轴上的椭圆。(2)椭圆的性质2x范围：由标准方程一2a2y_b21知| x| a, |y | b，说明椭圆位于直线 x a ,b所围成的矩形里;对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(x, y)在曲线上时,占八、(x, y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于 y轴对称。若同时以x代替x , y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心;顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x 0，得y b，
3、则B1(0, b) , B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y 0得x a，即A( a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段 氏A、B,B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ；在Rt OB2F2中,| OB2 | b , QF2 | c , I B2F2 I a，且 |OF2 I2 I B2F2 I2 |OB2 I2，即 c2 a2 b2 ；c离心率：椭圆的焦距与长轴的比 e 叫椭圆的离心率。：a c
4、00 e 1,且e越接近1, c就越a接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0 , c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a b时，c 0 ,两焦点重合，图形变为圆，方程为x2 y2 a2。2 .双曲线(1) 双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(II PFi I I PF2 II 2a )。注意：式中是差的绝对值，在0 2a I Fi F2 I条件下；I PFi I I PF2I 2a时为双曲线的一支；IPF2I IPFi I 2a时为双曲线的另一支(含 Fi的一支)；当2a IF1F2I时，II PFi I IPF2
5、II 2a表示两条射 线；当2a I FiF21时，II PFi I IPF2II 2a不表示任何图形；两定点 FiF?叫做双曲线的焦点，I RF? I叫做 焦距。(2) 双曲线的性质2 2 范围：从标准方程 令 七 i，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线xa的外侧。即a b22x a , x a即双曲线在两条直线 x a的外侧。2 2 对称性：双曲线 % 七 i关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点a b2 2是双曲线笃1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。a b顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线2 x 2 a2爲 1的方程里，
6、对称轴是x,y轴，所b以令y 0得x2 2X ya，因此双曲线和x轴有两个交点 A （ a,0）A2（a,0），他们是双曲线 2 1的顶点。a b令x 0,没有实根，因此双曲线和 y轴没有交点。1 ）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段 A A叫做双曲线的实轴，它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段B B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b,b叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从2 2图上看，双曲线 笃 每 1的各支向外延伸时，与
7、这两条直线逐渐接近。a b等轴双曲线:1） 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b ；2） 等轴双曲线的性质：（1 ）渐近线方程为：y x ； （ 2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征a b，则等轴双曲线可以设为:0），当0时交点在x轴,当0时焦点在y轴上。注意2x162y_92 2y x1与1的区别：三个量 a,b, c中a,b不同（互换）916c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3 .抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线I的距离相等的点的
8、轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线I上）。定点F叫做抛物线的焦点，定直线I叫做抛物线的准线。方程y 2 px p o叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（卫，0），它的准线方程是 x P ；2 2（2 ）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其2 2 2他几种形式：y 2px，x 2py，x2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如F表:标准方程y2 2px(p 0)y22px(p 0)x2 2py(p 0)x22py(p 0)jyJrFI伞图形11 1焦点坐标(f，0)
9、2(号,0)2（0,号）2(0,弓)2准线方程x R2x卫2y 2y 1范围x 0x 0y 0y 0对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e 1e 1e 1e 1说明：(1)通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;(2 )抛物线的几何性质的特点：有一个顶(3)注意强调p的几何意义：是焦点到准线点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线;的距离。4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=O的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点
10、的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系： 若曲线C的方程是f(x,y)=0 ，则点Po(xo,yo)在曲线C上 f(xo,y o)=0 ;点Po(xo,yo)不在曲线 C 上f(xo,yo)MO。两条曲线的交点：若曲线 Cl, C2的方程分别为fi(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点Po(xo,yo)是Ci, C2的交点fi(xo,yo)0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有 n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没f2(xo,y。)02、方程：(1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径
11、为r的圆方程是(x-a) 2+(y-b) 2=r2圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y 2=r2一般方程：当D2+E2-4F 0时，一元二次方程x2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(D,)2 222DE22半径是DE 4 F。配方，将方程 x2+y 2+Dx+Ey+F=0 化为(x+)2+(y+)2= E_2224当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-D,-旦)；2 2 当D2+E2-4F V0时，方程不表示任何图形.(3) 点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(xo,yo),则丨MC | V r 点M在圆C内，丨MC | =r 点 M
12、在圆 C 上,| MC | r 点 M 在圆 C 内，其中 | MC | = . (x-a)2 (y -b)2。(4) 直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。Aa Bb C直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0 的距离d 与JA2 B2半径r的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义:平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,O
13、)称为焦点，定直线l称为准线，正常数 e称为离心率。当0 V eV 1时，轨迹为椭圆；当 e=1时，轨迹为抛物线；当 e 1时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线:椭圆双曲线抛物线定义1 .到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F卡2|)的 点的轨迹2 .与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0e1 )1 .至俩定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1 )与定点和直线的距离相等的点的轨迹轨迹条件点集：（M | | MF1+ |MF2 | =2a, | F 1F2 | V 2a.点集：M | | MF1 | - | MF2 | .=2a, | F2F2 | 2a.点集M | MF | =点M到直线I的距离.图形17ITIP Kbj1 / .J11n*方 程标准方程2 2X2 笃 1( a b0)ab2 2xy务 1 (a0,b0)ab2小y 2px参数方程x acos y bsi n（参数为离心角）x asec y bta n（参数为离心角）2X2 Pf (t为参数)y2 pt范围a x a, b y b|x| a, y R
