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1、第三节 协方差及相关系数对多维随机变量, 随机变量的数学期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没 能反映随机变量之间的关系 . 本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间依赖关系的一个 数字特征.分布图示引言 协方差的定义 协方差的性质 例 1 例 2相关系数的定义 相关系数的性质 例 3 例 4 例5 例 6矩的概念 协方差矩阵n 维正态分布的概率密度n 维正态分布的几个重要性质 例 7内容小结 课堂练习习题 4-3内容要点一、协方差的定义定义 设(X , Y)为二维随机向量，若E X - E(X ) Y - E(Y)存 在 ， 则 称 其 为 随 机 变 量 X 和 Y 的 协 方 差
2、， 记 为 C o(Xv，Y) ， 即cov( X , Y) = E X E(X ) E(Y) .按定义，若(X , Y)为离散型随机向量,其概率分布为PX = x , Y = y = p(i, j = 1,2,)ijij贝Icov( X , Y) = X E x E(X ) y E(Y) .ij若 (X,Y) 为连续型随机向量, 其概率分布为 f (x, y), 贝cov( X , Y) =88 E x E(X ) y E(Y) f (x, y)dxdy g 8此外, 利用数学期望的性质, 易将协方差的计算化简.cov( X,Y)= EX E(X)Y E(Y)=E (XY ) E (X )E
3、 (Y) E (Y)E (X ) + E (X )E (Y)= E(XY ) E(X )E(Y ).特别地，当X与Y独立时，有cov( X , Y) = 0.二、协方差的性质1. 协方差的基本性质(1)cov( X, X) = D(X);( 2 ) cov( X , Y ) = cov( Y , X );(3) cov( aX , bY ) = ab cov( X , Y) ,其中 a, b 是常数;(4) cov( C, X ) = 0,C 为任意常数;(5) cov( X + X , Y) = cov( X , Y) + cov( X , Y).1 2 1 2(6) 若X与Y相互独立时，则
4、cov( X , Y) = 0.2. 随机变量和的方差与协方差的关系D(X + Y) = D(X ) + D(Y) + 2cov( X ，Y)， 特别地， 若 X 与 Y 相互独立时， 则D(X + Y) = D(X ) + D(Y) .三、相关系数的定义定义设(X , Y)为二维随机变量,D(X ) 0, D(Y) 0,称Cov (X , Y)D (X ) D (Y)为随机变量X和Y的相关系数有时也记p为p .特别地，当p = 0时，称X与Y不相关.XYXY四、相关系数的性质1 I p 1 0, DY 0,则| p|= 1当且仅当存在常数a, b (a工0).使P Y = aX + b =
5、1 ,而XY且当 a 0 时，p = 1；当 a 0, D(Y) 0,则a =2 b = E(Y) - a E(X )使均方误差达到最小.0 D(X )00注：我们可用均方误差e来衡量以aX + b近似表示Y的好坏程度,e值越小表示aX + b与Y 的近似程度越好.且知最佳的线性近似为 a X + b. 而其余均方误差 e = D(Y )(1- p 2 ) . 从这 0XY个侧面也能说明 |p |越接近1, e越小反之，|p |越近于0, e就越大.Y与X的线性相关XYXY性越小.五、矩的概念定义 设X和Y为随机变量，k, l为正整数，称E(Xk)E(X -E(X)k)E(| X |k )E(
6、| X - E(X)|k)E(X kY l)为k阶原点矩(简称k阶矩阵)；为k阶中心矩；为k阶绝对原点矩；为k阶绝对中心矩；为X和Y的k + l阶混合矩；E X - E (X )k Y - E (Y)1 为X和Y的k + l阶混合中心矩; 注: 由定义可见:(1) X的数学期望E(X )是X的一阶原点矩；(2) X的方差D (X)是X的二阶中心矩；协方差Cov (X , Y)是X和Y的二阶混合中心矩.六、协方差矩阵将二维随机变量(X , X )的四个二阶中心矩12订=E X - E(X詁2, c22 = E X2 - E(X2)2, C12 = E X - E(X川 X2 - E(X2), c
7、21 = E X2 - E(X2) X1 - E(X1).c排成矩阵的形式：C11C )12I C 21C 22丿(对称矩阵)，称此矩阵为(X , X )的协方差矩阵.12类似定义n维随机变量(X , X，,X )的协方差矩阵.i, j - 1,2,，n都存在，则称12nij若 c - Cov (X , X ) - E X - E(X ) X - E(X ) ij(C11C21c12c22c1c2I Cn1cn2cnn为(X , X ,X )的协方差矩阵.12n六、n维正态分布的概率密度七、n 维正态分布的几个重要性质例题选讲协方差的性质例1 (E01)已知离散型随机向量(x,y)的概率分布为
8、-10200.10.2010.30.050.120.1500.1求 cov( X , Y ) . 解 容易求得 X 的概率分布为 PX = 0 = 0.3, PX = 1 = 0.45, PX = 2 = 0.25;Y 的概率分布为 PY = -1 = 0.55, PY = 0 = 0.25, PY = 2 = 0.2,于是有E(X ) = 0 x 0.3 + 1 x 0.45 + 2 x 0.25 = 0.95,E(Y) = (-1) x 0.55 + 0 x 0.25 + 2 x 0.2 = -0.15 .计算得E(XY ) = 0 x (-1) x 0.1 + 0 x 0 x 0.2 +
9、 0 x 2 x 0 +1 x (-1) x 0.3 + 1 x 0 x 0.5 + 1 x 2 x 0.1+2 x (-1) x 0.15 + 2 x 0 x 0 + 2 x 2 x 0.1 = 0.zp曰于是 cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) =0.95x0.15 =0.1425 .例2 (E02)设连续型随机变量(X,Y)的密度函数为0 x y 1其它求 cov( X , Y ) .解 由(X , Y)的密度函数可求得其边缘密度函数分别为:4x(1 - x2),fx(x) = !0,其它0 x14 y3,0 y 1fY ( y I 0,其它于是从而1E (X ) = J x
10、f (x) dx = J x 4 x (1 x 2) dx = 8 /15, X- g01E(Y) = J yfY (y)dy = J y - 4y3dy = 4/5,- g0J+gJ+gJ1 J1E (XY ) =xyf (x, y) dxdy = dx xy 8 xy dy- g - g0 xcovX(,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) =4/225,= 4 /9,E(X 2) = J* x2 f (x)dx = Px2 - 4x(1 x2)dx = 1/3, X0E (Y 2) = J+8 y 2 f (y)dy = P y 2 - 4y3dy = 2/3,- g0所以D(X)=E(X
11、2)-E(X)2 =11/225, D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=2/75,D(X +Y)= D(X)+ D(Y)+2covX(,Y) =1/9.相关系数的性质例3(E03)设(x,Y)的分布律为-2-112PY = y .j101/41/401/241/4001/41/2PX = x,i1/41/41/41/41易知E (X ) = 0, E (Y) = 5/2, E (XY ) = 0,于是p = 0, X , Y不相关.这表示X , Y不存在xY线性关系.但px = -2, Y = 1 = 0工PX = -2PY = 1,知X , Y不是相互独立的. 事实上，X和Y具有关系：Y =
12、X 2, Y的值完全可由X的值所确定.例4 (E04)设服从 一兀,兀 上的均匀分布,X = sin , Y = cos 判断X与Y是否不相 关, 是否独立.解由于E(X )=hin 9d0 = 0, E(Y)=-冗J cos 0d0 = 0,-冗1 n而 E(XY)=J sin 0 cos 0d0 = 0.2兀2兀因此E(XY ) = E(X)E(Y),从而X与Y不相关但由于X与Y满足关系：X 2 + Y 2 = 1 所以X与Y不独立.例5已知XN (1,32 ) , YN (0,42 ),且X与Y的相关系数p XYY因 D(X) = 32, D(Y) = 42,?,求D(Z)及 p XZ且cov( X , Y) = “D (X ) ： D (Y) p XY = 3 x 4 x所以r xY )11r x工1D(Z)=D-=一 D (X ) +D (Y)-2 cov，、32丿94、32丿11 1=D (X ) + D (Y) - 2 x -94x 丄 cov( X , Y) = 7,21 XY 11 X 11r X ,covX , -= covX,| cov(32丿(3丿2丿11cov( X , Z ) =又因1 1
