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1、二元一次方程组讲义题型一：二元一次方程（组）的概念二元一次方程： 含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的方程。注意：满足的四个条件：1、都是整式方程；2、只含有两个未知数；3、未知数的项最高次数都是一次；4、含有未知数的项的系数不为0.二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组。注意：1）满足的三个条件：1、每个方程都是一次方程；2、方程组具有两个未知数；3、每个方程均为整式方程。 2）方程组的各个方程中，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起，组成方程组。二元一次方程：例1、下列方程， ，中，二元一次方程有 个。例2、方程是二元一次方程
2、，则的取值范围为 .例3、已知方程是关于的二元一次方程，则的取值范围是 .例4.若关于x，y的方程是二元一次方程，则的和为 .例5、若是关于x，y的二元一次方程，其中，则 二元一次方程组：例1、下列方程组中，二元一次方程组的个数是 . （1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.；（9）例5、若方程组是关于的二元一次方程组，则代数式的值是 题型二：二元一次方程（组）的解的概念二元一次方程:注意：1)二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值；2）二元一次方程的解使方程左右两边相等；3）一般情况下，一个二元一次方程有无数多组解，但并不是说任意一对数值都是它的解，当
3、对解有限制条件时，二元一次方程的解的个数为有限个。二元一次方程组：注意：1）二元一次方程组的解满足方程中的每一个方程；2）二元一次方程组需用大括号“”表示，方程组的解也要用大括号“”表示；3）一般常见的二元一次方程组有唯一解，但有的方程组有无数多组解，如，有的方程组无解，如.例1、若是二元一次方程的一个解，则 .例2、如果是方程的一个解（），那么（） A、m0，n=0 B、m，n异号 C、m，n同号 D、m，n可能同号，也可能异号 例3、方程组和同解，求的值。 例4、已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为 .例5、若是方程2x+y=0的解，则 .例6、已知是二元一次方程组的解，则的值为 .
4、例7、关于x，y的二元一次方程，当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是 .题型三：解多元一次方程（组）的问题解二元一次方程组的方法：代入消元法；加减消元法，整体思想（整体代入法；整体加减法）；换元法、分类讨论法。二元一次方程：例1、（2011柳州）把方程改写成用含的式子表示的形式，得 .例2、（2003黑龙江）写出满足方程的一对整数值 .例3、二元一次方程的非负整数解共有 对例4、方程的整数解有 对.例5、方程的非负整数解有 . A、4组 B、5组 C、6组 D、无数组 例6、若，则 . 二元一次方程组：例1、（2011淄博）由方程组可得出与的关系式是 .1
5、）代入消元法 例2、（2011肇庆）方程组的解是 .例3、（2011台湾）若二元一次联立方程式的解为，则的值为 .例4、（2011曲靖）方程和的公共解是 .例5、用“代入消元法”解方程组时，可先将第 方程（填序号即可）变形为 ，然后再代入例6、用代入消元法解下列方程组：(1) ； （2）； （3）； （4） （5）.2）加减消元法：例1、用加减消元法解下列方程组：（1）； (2)； （3）3） 整体思想：例1、解下列方程组：（1） ； （2）.例2、解下列方程组：（1） ； (2)例3、已知方程组的解是，求方程组的解。例4、已知方程组：的解是：，则方程组：的解是 .4）换元法：例1、解下列方程
6、组：（1）5）分类讨论法：例1、若、是两个实数，且，则等于 .例2、方程组的解的个数为 .例3、若关于，的方程组没有实数解，则 .三元一次方程组：例1、已知方程组的解满足方程，则 . 例2、已知方程组的解满足方程，求的值.例3、如果方程组的解是方程的一个解，则 .例4、若，则 例5、在关于的方程组中，已知，那么将从大到小排起来应该是 题型四：二元一次方程（组）与绝对值、同类项的综合运用例1、已知，则 .例2、若，则的值为 .例3、方程的解的值也满足，且，求的值。例4、如果是同类项，那么的取值分别是 . 例5、若是同类项，则 ， .例6、解方程组：题型五：模糊以及抄错题问题例1、小华不小心将墨水
7、溅在同桌小丽的作业本上，结果二元一次方程组中第一个方程的系数和第二个方程的系数看不到了，现在已知小丽的结果是你能由此求出原来的方程组吗？例2、甲、乙两位同学一起解方程组甲正确地解得乙仅因抄错了题中的，解得求原方程组中的值例3、甲乙两人解方程组，由于甲看错了方程中的，而得到方程组的解为乙看错了方程中的，而得到的解为假如按正确的计算，求出原方程组的解。例4、已知方程组的解应为，小明解题时把c抄错了。因此得到的解是，则的值。题型六：由实际问题抽象出二元一次方程组的问题例1、（2011泰安）某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖
8、品每件12元，求甲乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品件，乙种奖品件，则可列方程 .A、 B、 C、 D、例2、（2011台湾）在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元若馒头每颗元，包子每颗元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系 .A、 B、 C、 D、例3、（2011宁夏）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是 .A、 B、 C、 D、例4、（2010宁夏）甲、乙两
9、种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%、若设甲、乙两种商品原来的单价分别为元、元，则下列方程组正确的是 .A、 B、C、 D、例5、（2010丹东）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分若设（1）班得x分，（5）班得分，根据题意所列的方程组应为 .A、 B、 C、 D、例6、（2010长春）端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个，其中荷包每个4元，五彩绳每个3元设王
10、老师购买荷包个，五彩绳个，根据题意，下面列出的方程组正确的是 .A、 B、 C、 D、 例7、（2010巴中）巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约为126km一辆小汽车，一辆货车同时从巴中，广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6km，设小汽车和货车的速度分别为km/h，km/h，则下列方程组正确的是 .A、 B、 C、 D例8、（2008株洲）“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题：“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔”解决此问题，设鸡为只，兔为只，则所列方程组正确的是 .A、 B、 C、 D、例9、（2008台州）四川
11、5.12大地震后，灾区急需帐篷某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置9000人，设该企业捐助甲种帐篷顶、乙种帐篷顶，那么下面列出的方程组中正确的是 .A、 B、 C、 D、例10、（2008荆门）用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用，y表示矩形的长和宽（），则下列关系式中不正确的是 .A、 B、 C、 D、例11、“甲、乙两数之和为16，甲数的3倍等于乙数的5倍”，若设甲数为，乙数为，则列出方程组：（1）；（2） ；（3）；（4）中，其中正确的有 。
12、A、1组 B、2组 C、3组 D、4组例12、现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，则可列方程组为 .A、 B、 C、 D、例13、已知一组数据1，2，4，2，8，7，它的中位数和众数恰好是一个关于，的二元一次方程组的解，则这个二元一次方程组是 （写出符合条件的一个即可）题型七：方程及方程组的应用问题思路导航：应用二元一次方程组解决实际问题关键在于正确找出问题中的两个等量关系，列出方程并组成方程组，同时注意检验解的合理性列方程组解应用题的一般步骤：（1） 审题：反复阅读题目，弄清题意，明确问题中哪些量是已知量，哪些量是未知量，弄清题目中的等量关系。（2） 找等量关系，设未知数，列出代数式：选择两个未知数，用字母表示，用含有未知数的代数式表示其他的未知数，找出题目中明显的灯亮关系和隐含的等量关系；（3） 列方程组：根据题目中的等量关系列出方程，并组成方程组；（4） 解方程组：求出未知数的值；（5） 检验并作答：检验所得的未知数的值是否合理，然后作答。1） 工作量问题
