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1、中国人口增长预测摘要针对中国人口发展的新特点，本文运用了 GM(1,1)模型、偏微分方程的人口发展模型对中国人口的总人数，人口结构及出生人口中男女性别比例进行分析和预测。模型一：根据中国统计年鉴2006中每年的人口总量，建立灰色预测GM (1,1)模 型，预测出未来15年各年的总人口数，因该模型已将相对死亡率、女性比例和生育模 式默认为定值，故只能作短期预测。模型二：针对模型一的缺点，查阅资料，得到生育模式可简化为关于年龄的函数且 服从x 2分布，又用二元指数拟合的相对死亡率关于时间和年龄的函数表达式，各年龄 的男女比例近似地取为5年数据的平均值，建立起没有人口扰动的偏微分方程人口发展 模式，
2、用离散化方法对其进行数值求解，预测未来50 年的总人口及城镇乡的人口(见 附表)，通过这个模型可预测2027年中国人口将达14.09亿。模型一及模型二人口预测结果比较单位：万人)年份2006200720082009201020112012模型一133049134231135424136628137842139068140304模型二1313701322301330801339101347201354901362402013201420152016201720182019202014155114280914407814535914665114795414927015059613694013760
3、0138210138770139270139720140100140420注: 模型一及模型二人口预测结果比较，两者前期差别不大，后期差别较大 .这是由于在使用GM(1,1)模型预测总人口数时，已经将相对死亡率、生育模式等相关参数默认为定值.而人口发展方 程中的相关参数是时间t和年龄r的拟合函数，这就是决定了 GM(1,1)模型只能做短期预测，而不 能做长期预测，从而说明模型二更具优势。模型三：近年来，我国城镇化速度明显加快，人口迁移考虑单向模式：乡一镇一城 f乡，并引入正态分布函数逼近人口迁移率，建立起城、镇、乡偏微分人口发展模型。 该模型可预测城、镇、乡各年龄的人口数，并且可预测在2026
4、 年左右人口达到峰值约 为 14.4 亿，然后对上述数据进行统计分析可以预测下列人口预测指标： 1、城、镇、乡 各区域人口比例；2、全国范围内少年、中青年、老年人口的比例。最后，再次利用GM(1,1)模型对出生人口的性别比例进行预测，发现现阶段我国出 生人口性别比例逐年上升，这将使得我国男女比例不协调的形势更加严峻，有关部门应 采取积极措施解决此问题。本文采用的模型能全面地反应我国总人口及迁移规律，且拟合的精度较高，具有较 高的应用与推广价值。关键词:人口发展方程模型 GM (1,1)模型 二元指数拟合 人口扰动一、问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有
5、数 据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性 别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007 年 初发布的国家人口发展战略研究报告(附录 1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录 2 就是从中 国人口统计年鉴上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录 2 中的相关数据(也可 以搜索相关文献和补充新的数据)，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口 增长的中短期和长期趋势做出预测。二、条件假设Hl:假设只
6、考虑本国内部的迁移，而忽略国际之间的迁移；H2: 忽略突发灾难性疾病、战争等对人口的影响；H3:假设国家对人口方面的政策基本稳定；H4:题目所给的统计数据除个别有明显错误，其他都符合实际情况；H5:无大规模的强制性移民政策.三、符号说明r :表示人类能活到的最高年龄；mr,r :表示妇女育龄空间；12p(r,t):表示t时刻年龄为r的单位年龄组中的人口数，称为人口分布密度函数；f (r, t):表示人口扰动，即人口的迁入与迁出；h(r, t):表示为相对死亡概率；k(r,t) :表示女性在人口中的比例函数；0 (r,t):为总和生育率，表示一个妇女依照该时刻的年龄生育率度一生所生育孩子的总 数
7、；p (0) 为初始人口年龄密度；rr 为最佳生育年龄。max四、问题分析4.1 在建模过程中我们主要考虑和预测以下指标：1、各年的总人口数；2、人口数峰值及到达时间；3、城、镇、乡人口数比例，城 (或乡，或镇)人口数；4、年龄结构；5、出生人口男女性别比例。4.2 先对所给数据的异常值进行了处理，发现了 2003 年的生育率数据有异，接 近于另外四年相应值的 0.1，故作近似处理乘以10 后为新数据.4.3 为预测总人口数，首先建立了一个灰色预测GM(1,1)模型，预测了未来15 年的总人口数，但发现只能进行短期预测。于是建立了人口发展方程，即偏微分方程模 型来进行较长期的预测，确定了其中的
8、相关参数:死亡率，生育模式，女性比例，其中 的相对死亡率用二元指数回归模型进行拟合，并先对该模型进行简化，即构建不考虑人 口扰动的人口发展模型，利用一元差分方程将其离散化后对总人口数。城、镇、乡的人 口数进行预测，并对其进行精度控制，使得其值与实际拟合度较高；为预测城、镇、乡 人口的比例，构建完整的人口发展迁移方程模型，用同样的算法对人口数进行了预测， 并对这些数据进行统计处理后预测了年龄结构，城、镇、乡人口比例等指标.最后，再 次利用GM (1,1)模型对出生人口的男女比例进行了预测五、模型的建立5.1模型一利用GM(1,1)模型预测中国未来15年的总人口数首先，从中国统计年鉴 2006中获
9、得 1989-2005 各年总人口数，分别计为 x(0)(i), i 二 1,2,N.具体步骤如下：1) 数据处理 为了尽量减少随机干扰的影响，先将初始数据作预处理.设x(o)二(x(o)(1),x(o)(2),x(o)(17)二(1 1 2 7,0 44 3,331 2 6 7)4 3做一次累加序列x(k)=丈 x(o)(i)(k = 1,2,n)i=12) 白化微分方程GM (1,1)模型的白化微分方程1)dx(1)+ ax (1) = bdt其中a,b为模型参数。3) 模型参数的估计.由最小二乘法求解得(a) (- 0.008849)/、=(2)、u 丿(1.139761 丿4) 建立生
10、成数据序列模型将(2)式代入上式(1)中，求解微分方程得到GM(1,1)的灰色预测模型为：AuuX 1(k +1) = X o 一 e -ak +, (k = 1,2,n)aa5) 建立原始数据序列模型，即由累减生成原始数据序列X 0的模拟序列值：A 0 A 0XA (1)= XA (1)A 0 A1 A1XA (k ) = XA 一 XA (k 一 1)(u A=(1 - ea) X 0(1) e a (k 1)(k = 2,3,n)Ia丿这里X(k) (k = 2,3,n)是原始数据序列X0(k) (k = 2,3,n)的拟合值，Xo(k)(k n)是原始数据序列的预测值.5.2 人口发展
11、方程模型 在安定的社会中，人口发展方程可以用精确的偏微分方程描述.dp(r, t) dp(r, t)(、/、-+=卩(r, t) p(r, t) + f (r, t)drot rh(r)二 2；T (2)10,r r1其中 n 由r 二 r + n - 2max 1确定，其中r是最佳生育年龄，取r二25.max max2) 通过中国统计年鉴2006可以获得1989-2005年的女性人口所占的比例， 观查这组数据发现，女性人口比例变化的幅度极其微小，人口学专家也指出，在不受战 争、移民、灾害和不同民族习俗的影响下，女性人口的比例将在略小于男性人口比例值下小幅波动，故k(r, t)可以近似取值为近
12、5年女性人口比例的平均值.3) 考虑r,t与相对死亡概率叽r,t)的关系，用二元指数多项式进行非线性函数拟合，回归模型为：卩(r, t)二 t ae (br+c)将曲线回归化为线性回归：In 卩二 Inta + br + c即ln 卩=a ln t + br + cx 二 In ty 二 In 卩得到二元线性回归方程y = ax + br + c.然后，分别统计得到城、镇、乡三者2001-2005年的相对死亡率r(m)(m=1, 2, 3).再利用最小二乘法估计出模型的参数，则可得城、镇、乡的相对死亡率卩m(r,t)为：t时 刻城市中年龄为 r 的人口的相对死亡率：r (1) (r,t) 二
13、t -0.1735 e 0.0416r-1.515显著性检验R2二0.68468p二0，拟合效果显著.拟合图如下：86426054403220080率亡0 0死亡率拟合函数图象年龄年份图 1 死亡率函数同理，t时刻小镇中年龄为r的人口的相对死亡率： r (2) (r,t) 二 t -0.3804e 0.0433r-1.5153t时刻乡村中年龄为r的人口的相对死亡率：r (3) (r,t) 二 t -0.0261 e 0.03r-0.61235.2.2 模型二 简化的模型为使模型简化，考虑一种比较简单的情形，即不考虑人口扰动.令 f (r, t)二 0，得6p(r, t)丄 3p(r, t)“(+、(+、+=卩(r, t) p(r, t)drotP(r ,0) = p0(r)p(0, t) = P (t)1 r k(r, t)h(r, t)p(r, t)drp(r , t) = 0m5.2.3 模型三 模型的优化 为分析城、镇、乡人口结构的变化情况，考虑一个简单的人口迁移模式单向迁 移模式：通过模式图，可以认为乡村人口向城市迁移经历了乡T镇T城的过程，其它
