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1、思维点拨：相交线与平行线【例1】已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分BOD且AOE=150，你能求出AOC的度数吗？【思考与分析】观察图形我们可知，AOE与BOE是邻补角，所以BOE的度数可求，又由OE是BOD的角平分线可求得 BOD=2BOE，而AOC与BOD是对顶角，故AOC可求.解： AB是直线（已知）， AOE与BOE 是邻补角（邻补角定义）. AOE+BOE=180（补角定义）. 又AOE=150（已知）， BOE=180-AOE=180150=30（等式性质）. OE平分BOD（已知）， BOD=2BOE（角平分线定义）. 即 BOD=23060. AOC与BOD是对顶角（
2、由图可知）， AOCBOD（对顶角相等）. AOC60.反思：在思考过程中抓住角平分线DE与各个角的关系是解题的关键.【例2】 如图，直线AB、CD相交于点O，OEAB于点O，OF平分AOE，1=1530，则下列结论中不正确的是（ ）. A.2=45 B.1=3 C.AOD与1互为补角 D.1的余角等于7530 思考与解: OEAB，AOE=90. OF平分AOE， 1与3是对顶角，1=3.B正确. AOD与1互为补角.C正确. 1=1530，1的余角=90-1530=7430.D不正确.故选D.【小结】我们在做这类选择题时，首先把题中条件与图形一一对应，然后看每个结论是否与条件冲突.【例3】
3、已知，如图，直线AB、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，DOF32，你能求出AOE的度数吗？ 【思考与分析】我们由ABCD可知AOC90，因此，AOE与EOC 互余.又因为EOC与DOF是对顶角，于是EOC=32，于是AOE可求.解法一：直线CD与EF交于O（已知）， EOC=DOF （对顶角相等）. DOF32（已知）， EOC=32（等量代换）. AB、CD互相垂直（已知）， AOC90（垂直定义）. AOE+EOC=90. AOE=90-EOC=90-32=58. 解法二：直线AB、CD互相垂直（已知）， BOD90（垂直定义）. BOF+DOF=90. DOF32（已知）， BO
4、F=90-DOF=58. 直线AB与直线EF交于点O（已知）， AOE=BOF（对顶角相等）. AOE58. 反思：第一种解法先用对顶角后用互余，第二种解法先用互余后用对顶角，我们在平时做题时也应该多想多做，多角度分析解决问题.【例4】 如图3，直线AB与CD相交于点F，EFCD，则AFE与DFB之间的关系是_. 【思考与分析】我们由所给的条件EFCD，得CFE=90，也就是说AFEAFC=90，又根据对顶角相等，得AFCDFB，所以AFEDFB=90 .本题也可利用平角的定义来解，即由 AFEDFBEFD=180，又因为EFD=90，所以AFEDFB=90. 解： AFE与DFB互为余角（或
5、AFEDFB=90）. 【小结】这类题目的特点是有条件而无结论，要从所给的条件出发，通过分析、比较、猜想，寻找多种解法和结论，再进行说理证明.这类题目具有较强的探索性，思维空间较大且灵活，突破了死记概念的传统模式.【例5】 平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（ ）对. A. 4对 B. 8对 C. 12对 D. 16对 【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD 被直线EF所截”、“直线AB和CD 被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD 被直线GH
6、所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD 被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中共有16对，因此选择D. 【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”. 【例题】（1）如图1，在ABC中，ABC=90， A=50，BDAC，则CBD的度数是 . （2）已知：如图2，直线ABCD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，BEF的平分线与DFE 的平分线相交于点P你能说明P=90吗？ （3）如图3，已知ABCD，C=75，A=25，则E的度数为 . 【思考与解】（1）解法一：由题意我们知BDAC.所以ABD+BAC=180.所以CBD
7、=180-50-90=40. 解法二：由题意我们知C=90-A=90-50=40. 又因为BDAC. 所以CBD=C=40. （2）因为ABCD. 所以根据平行线的性质得：BEF+EFD=180. 又因为EP、FP分别平分BEF和EFD. 所以P=180-（1+2）= 180-90=90. （3）因为ABCD. 所以BFE=C=75. 所以AFE=180-BFE= 180-75=105. 所以E=180-A-AFE=180-25-105=50 反思：我们在做这类题的时候，一定要想是不是这样做最简单，是不是只有这一种解法？【例6】如图1，如果B1=250，那么D . 【思考与分析】我们通过观察图
8、形，由B1=250可得ABDC、ADBC，再利用其性质同旁内角互补可得D的度数. 解：因为B1，所以ABDC， 所以BBCD=180，BCD=130. 又因为B2，所以ADBC， 所以BCDD=180，D=50. 反思：我们解题时用的是同旁内角互补.还可以利用D1B50.也可以利用D2B50.大家可以试一试. 【例7】如图2，直线l1、l2分别与直线l3、l4相交，1与3互余，3的余角与2互补，4125，则3 . 思考与解：因为1与3互余，3的余角与2互补， 所以12180. 所以l1l2. 所以35180455. 反思：我们难以理解的是为什么12180？我们可由题意列式1390，903218
9、0.两个式子相加可得12180.在解决有关平行问题的时候，有时需要添加必要的辅助线，而添加平行线作为辅助线，更是解决此类问题好的帮手.下面举几例说明. 【例8】如图1所示，直线ab，ACF50，ABE28，求A的大小. 【思考与分析】要求A的大小，关键是确定辅助线的位置.于是我们会想到过点A作ADb，这样利用平行线的知识即可求解. 解：过点A作ADb，则DACACF50. 又因为ab， 所以ADa. 所以DABABE28. 所以BACDACDAB502822，即A的大小是22. 反思：在解题时我们做ADb，那么是不是必须要做辅助线呢？我们继续思考：A在ABG中，ABE也在ABG中且等于28，那
10、么只要求出AGB的度数，就可求A的度数. 【例9】如图2，ABCD，EO与FO相交于点O，试猜想AEO、EOF、CFO之间的关系，并说明理由. 【思考与分析】由于BEO、EOF、DFO三个角的位置较散，设法通过辅助线使之相对集中，我们可以考虑ABCD，可以过点O作MNAB，这样即可找到三个角之间的关系了.由此猜想AEO+CFO+EOF=360. 解：过点O作MNAB. 因为ABCD， 所以CDMN. 所以AEO+EOM=180，MOF+CFO=180. 所以AEO+CFO+EOF=AEO+EOMMOF+CFO180180360. 反思：我们解这道题是用的两组同旁内角之和.其实我们还可以连结EF，正好把这三个角分成一组同旁内角和一个三角形的三个内角.由同旁内角和三角形内角和可得出同样的结论. 【例10】如图3，已知ABED，A+E，B+C+D.试探索与2的数量关系，并说明你的理由. 【思考与分析】我们由已知条件ABED可知A+E180，于是只需知道B+C+D的大小即可探索出与2的数量关系.此时可以过点C作CFAB，从而求出B+C+D360，即有2. 解：猜想2. 理由是：过C作CFAB， 因为 ABED， 所以A+E180. 又因为ABED， 所以CFDE，即（B+1）+（2+D）360. 故2. 【小结】这道题的思路与我们做的上题是相同的，也可以连结BD来解.
