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1、 模糊逻辑命题公式集合的结构特征李 增 涛（陕理工数学系数学与应用数学专业2003级4班,陕西 汉中 723000）指导老师:王文良摘要 本文作者进一步分析模糊逻辑命题公式集合的微观结构,即具体什么是其结构上的单位元,l理想,零元,指出它还构成S-格半群,且含n个模糊命题变元的模糊逻辑命题公式构成的集合关于其上定义的等值关系构成的商集:在给定关系和运算下是构成双格半群.并且指出元函数集在给定的关系和取上确界运算构成的格半群与同构.关键词 单位元;理想;格半群;格半群;数 ;真假度;双格半群1 引言通常模糊集合按如下的方式来定义:所谓论域上的模糊集合,是由隶属度函数赋予特性的集合,这里是从到实数
2、集合上的闭区间的函数而表示隶属于模糊集合的程度,称为隶属度函数.通常的数理逻辑是一种二值逻辑,但是作为建立人工大脑模型的新的倾向,已经转向采用连续状态逻辑元件的方向,这表明逻辑学的研究也必须适应这一趋向,从通常的二值特征函数向具有连续值的特征函数发展.例如今天的天气太热.这一陈述句是否正确在很大程度上是具有主观臆断性的,不能够简单的用是或非来加以判断,数学家正是应用了模糊集的概念把研究主观地决定真（取1）与假（取0）之间值（连续的或离散的）那种命题的模糊逻辑规范化,进而建立了起模糊逻辑命题公式概念. 数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和规律的一个数学分支,逻辑命题公式是将人的大脑思维符号
3、化的产物、是数理逻辑研究的基本对像.动态模糊性问题作为当今学术界普遍关注的一个热门话题,体现在数理逻辑当中,就是引入了动态模糊逻辑命题的概念,从而产生了模糊逻辑的研究. 及多值逻辑与动态模糊逻辑研究.一个具有动态模糊性的陈述句, 一般没有绝对的真假,只能问它的真假程度如何.在逻辑系统中,由于命题的运算实际上就是真值的运算,为了方便,刻画一个模糊命题真值的量可以看成是在闭区间上取值的变量,称为模糊命题的真假度,其度量一个模糊命题的真假度一般用动态模糊真假度来表示,常用,等来表示,通常简称为DF数（Dynamic Fuzzy number）. 其中的集合表示动态模糊命题真值的趋向区间,即就是说任一
4、模糊命题的真假度在这一区间内的趋向.例如表明某命题变量的隶属度为,这里实数有两种趋向,它可以向0这个方向发展,也可以向1这个方向发展.和是满足的任意DF数,是满足的DF数,则称为区间布尔量(Interval Boolean variable),其意义表示命题变量的真值落在之间;称为DF区间布尔量,表示其真值在之间的可能性用来刻画. 对于模糊命题变量x,y,设其DF数分别为,则可以定义其逻辑运算如下:1) 逻辑和:;2) 逻辑积:;3) 否 定:.给出一组模糊命题变量为,则的真值构成实数集合中的闭区间上的隶属度函数,取,于是在如上逻辑运算的基础上可以引入模糊命题公式的概念1,即称为模糊命题公式.
5、在不至于引起混淆的情况下,一般表示为F,即F:,.设模糊命题公式的所有命题真假度构成的集合为,则于是,的DF数（即动态模糊真假度）满足.表示DF数为假,表示DF数为真,当的值越趋向于,说明它的为真的程度越大,反之当的值越趋向于时,它的为假的程度就越大. 孟强在动态模糊逻辑命题的序结构一文中设为关于动态模糊命题变量的一切模糊命题公式构成的集合,证明了关于如下二元关系构成一个格,并在此关系的基础上定义其逻辑运算如前:逻辑和:;逻辑积: 否定:逻辑和与逻辑积的基础上指出构成一个广义格半群,又给出了一个逆序对合对应:,进一步证明了是一个双格半群,且是一个格半群,同时指出是其对偶格半群.本文试在孟强的论
6、文动态模糊逻辑命题的序结构一文的基础上进一步研究的微观结构,即来具体分析单位元,理想,零元,并指出含个模糊命题变元的模糊逻辑命题公式集合构成的集合还是一个格半群,进一步指出关于其上定义的等值关系,（与等值关系表示:, ）这显然是等价关系,于是按这个等价关系构成的商集:利用上的逻辑和与逻辑积即运算在上定义运算 ,同时给出上的一个序关系分别如下: 当且仅当 并给出其上的逆合对应为:.指出在给定这样关系和运算下是构成双格半群的.元函数集上的关系与运算规定如下:规定（即大小关系）并规定取上确界为其上的运算.于是是显然构成格半群的.并且指出元函数集在给定关系和取上确界运算构成构成的格半群与同构.这对于在
7、进一步研究分子格理论,拓扑半群理论和序半群理论,以及扰动模糊命题逻辑的代数结构,还是在实际应用方面都具有一定价值.数理逻辑是应用数学方法来研究推理的形式结构和规律的一个数学分支,逻辑命题公式是将人的大脑思维符号化的产物,是数理逻辑研究的基本对象.动态模糊性问题作为当今学术界普遍关注的一个热门话题体现在数理逻辑当中,就是引入了动态模糊逻辑命题的概念,从而产生了模糊逻辑的研究. 这一新型学科的成熟和发展必将推动计算机科学,人工智能,语言学等许多学科的长足发展,具有十分重要的价值.记表示矛盾式,表示恒真式.2 预备知识定义2.12 集合上的二元关系称为上的偏序关系(portial ordering)
8、,如果1); 2) ; 3) 这时,称为偏序集.定义2.23 设集合是上的二元运算,如果 则称是半群 ().定义 2.34 设是半群,如果,且,则称为具有零元的半群,称为半群的零元.定义2.44 设是偏序集,若,存在,则称为格（）,这时简记为,简记为.定义2.54 设是格,如果均有成立,则称是的零元;如果均有成立,则称是的单位元.定义2.64 设格是有零元和单位元,称为的补元,如果,（表示零元,表示单位元）.定义2.74 称为半格序半群,如果: 1)是半格; 2)是半群; 3).若是格,则称是广义格序半群,简称广义格半群().定义2.85 用表示格半群中的最小元,最大元,单位元.如果时记为记为
9、.的格半群称为弱格半群,如果还存在,则称格半群;的格半群称为弱格半群,如果还存在,则称格半群.定义2.95 具有逆合对应的弱格半群,弱格半群均称为格半群.定义2.104 格的非空子集称为的理想,（）,如果 1）; 2). 定义2.116 称是双格半群,如果: 1）是半群;2）是格;3）（即对运算具有保序性）;4）存在映射是逆序对合对应,即.定义2.124 广义格半群中如果还是一个具有逆合对应的完全分配格,则称是格半群. 定义2.137 设为公式 （）,若对中的所有变量的一切赋值有,则称公式为恒真公式.特别当时,称公式为恒真公式;若对中所含变量的一切赋值都有成立,则称公式为恒假公式.定义2.14
10、8 设是集合中的一个等价关系.集合中的两个点,如果满足条件:,则称与是等价的,或简称为等价的;对于每一个,集合的子集称为的等价类或等价类,常记作的一个代表元素;集族称为集合相对于等价关系而言的商集.定义2.154 设是具有逆合对应的格,是半群,规定:则称为运算在下的对偶运算.定义2.169 设是格半群,双射称为到的同构映射.称与同构,如果有:1)当且仅当;2).定义2.17 上的关系如下定义:称模糊逻辑命题公式的等值关系.定义2.184 格上的映射称为上的逆序对合对应或简称逆合对应,如果）（对合对应）; )（逆合对应）.3 与的结构性质定理3.1 设为关于命题变量的一切模糊命题公式构成的集合,
11、则关于如下二元关系构成一个格:.证明 首先证明是一个偏序集.1) 自反性:2) 反对称:,;3) 传递性:,故是一个偏序集. 根据逻辑和的定义,故. 设,故推出,即中的逻辑和恰是的上确界. 类似可以证明,即的逻辑积恰是的下确界,所以是一个格.定理3.2 格半群,是格半群的零元.（即说明是格的零元,也是半群的零元）.证明 ,因为,这说明是格的零元,而对于半群有于是这说明是半群的零元.所以是格半群的零元.定理3.3 格半群,恒真式是格半群的单位元.（即说明是格的单位元,也是半群的单位元）.证明 ,所以是格的单位元.又因为,所以由定义知是半群的单位元,所以既是格的单位元又是半群的单位元.定理3.4
12、格,恒真式与矛盾式互为补元.证明 由恒真式与矛盾式分别是格的单位元和零元,而有,所以由定义2.6说明它们是互为补元的.定理3.5 是弱格半群且是格半群.证明 由定理3.3知恒真式是的单位元,又由恒真式是的最大元.所以;则由定义2.8是弱格半群,同时则是格半群.定理3.6 在逆合对应为:下, 的对偶格半群为 ,则 是弱格半群且是格半群. 证明 因为是 的对偶格半群,是到的对偶同构,因此中的最大元是中的最小元,中的单位元也是中的单位元,所以是弱格半群,且是格半群.推论3.1 格半群是格半群.证明 在上有逆合对应又由定理3.6和定义2.9知是格半群.定理3.7 ,则是的理想.证明 因为不妨设则,所以
13、.又,若则前面证明过程知.若,则,则有于是所以所以纵上由理想的定义知是的理想.定理3.8上的关系如2.17所定义是一个等价关系.证明因为,所以,因为若,则说明,则所以,又若则有所以这就说明是一个等价关系.定理3.9上的如引言所定义的关系与运算分别是偏序关系且运算是代数运算.上定义的关系与运算分别也是偏序关系且运算是代数运算.证明先证上的运算与关系,1) 因为,而在中的,所以,这说明中定义的是其上的代数运算.2) ,因为,则,若且,则有,而这在中有,则有,又若且则则,则有,所以定义的是偏序关系,再来证明中的运算与关系,因为,不妨,有,则有而,所以是其上的代数运算,而关系的证明类似中的偏序关系证明
14、.定理3.10 是双格半群.是其对偶格半群.证明 1),因为,所以,则而是格半群,所以于是有所以是一个半群.2)如引言所给的上的序关系显然是偏序关系,则于是同理可证与的下确界在中,这说明构成格的.3) 不妨设,则由是双格半群得: 当 所以同理这说明对运 算具有保序性.则 ,因为若,则则.纵上说明是双格半群.有因为是一个半群,构成格的,而定义有逆合对应,不妨有,则,又于是是的对偶运算,所以是其对偶格半群.定理3.11 映射:规定:令（表示与等值的元函数）,则是双射,且格半群与是同构的.证明先来证明是双射:1)若即有又因为由则所以是单射.又因为含个模糊命题变元的模糊公式的值是隶属于的,而隶属于中的任何一个元函数可以找到一个有则说明,有成立.则说明是满射,于是可得是双射.2),则可得于是,则有即若,即有于是则有,所以.(2)不妨设,则即可得.于是,而所以于是由定义2.16知格半群与是同构的.在文章命题逻辑的序结构9中,含个命题变量的二值逻辑命题公式全体构成的集合关于逻辑等值这一等价关系所构成的商集.对于由逻辑和,逻辑积所引入的商集上的运算和构成一个双格半群,和元真值函数集
