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1、第一章1. 常微分方程和偏微分方程2. 一阶与高阶微分方程3. 线性和非线性微分方程4. 解和隐式解5. 通解和特解6. 积分曲线和积分曲线族一阶常微分方程求解的几何意义是：求一条曲线，使这条曲线上每一点切线的斜率等于f(x,y)在该点的函数值。一(1)、变量分离方程的求解 牛二 f (x加(y)(2.1)dxdy中(y)=f (x) dx,10分离变量，当中(y)。0时,将(2.1)写成20两边积分得j y =j f (x)dx + c (2.2)中(y)由(2.2)所确定的函数y =中(x, c)就为(2.1)的解.一(2)、可化为变量分离方程类型(I)齐次方程(II)形如空=f 1 b
2、七的方程， dx I a x + b y + c /其中a ,b ,c ,a ,b ,c为任意常数.111222形如 半=g 己)(2.5)方程称为齐次方程，这里g (u )是的连续函数.dx x求解方法：10作变量代换(引入新变量)u = y,方程化为空=g (u) u , xdx x(这里由于空=x空+ u)dx dx20解以上的变量分离方程30变量还原.(II)形如空=a1x+b1y+c1，这里人 h m dx a x + b y + c这里a , b ,c ,a , b ,c 为常数./v i Cx y i u111222的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论a + b
3、y1 1 x =g (y) .,y xa + b _2 2 x1气=c 2 = 0的情形dya x + b ydxa x + b y22为齐次方程，由(I)可化为变量分离方程.=0的情形a ab b2设l = 4 = k,则方程可改写成a bdy a x + b y + ck (a x + b y) + c/ = i 广 i = 22 八 i = f (a x 十 b y)dx a x + b y + c a x + b y + c22222222令u = a2 x + b2 y,则方程化为=a + b f (u)22* =a+ bdL dx 22 dx这就是变量分离方程a1b1a2b2。0且
4、匕与c2不同时为零的情形代表xy平面两条相交的直线，解以上方程组得交点(a，P)，(0,0).作变量代换(坐标变换)4X = x-aY=y-P，dY _aX + bY 则方程化为dX a1X + b1 Y为(1)的情形，可化为变量分离方程求解.解的步骤:I a x + b y + c = 010解万程组 11，1,得解a x + b y + c = 020作变换;x=x _a，方程化为dY 二七X：bY =g(Y) Y = y - pdX a X + b YX一一、 Y .30再经变换 =X,将以上万程化为变量分离万程40求解5。变量还原注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.d = f
5、 dxdY aX + bY ,Y、 n =f ( 1) = g (一)dX a X + bY Xf 匕 x+* y+c1 a x + b y + c j此外，诸如 空=f (ax + by + c) n u = ax + by + c dxyf (xy) dx + xg (xy) dy = 0n u = xyx2 半=f (xy) dxn u = xydy _ rfy _ y= xf ()n u =dxx 2x 2以及 M (x, y)(xdx + ydy) + N(x, y)(xdy 一 ydx) = 0(其中M,N为x, y的齐次函数，次数可以不相同)等一 些类型的方程，均可适当变量变换化
6、为变量分离方程.二(1)一阶线性微分方程的解法-常数变易法卓=p (x) y(2)dx10解对应的齐次方程得对应齐次方程解=ce p (x)dx, c为任意常数20常数变易法求解dy = P (x) y + Q (x)(1)dx(将常数。变为的待定函数c (x)，使它为(1)的解)令y = c( x)eJp (x) dx为的解，则dydc(x) Jdx代入(1)得ep (x )dx + c (x) p (x)eJ p (x )dx d竺 = Q (x)e-J p (x )dxdx积分得c(x) = J Q(x)ep(x)dxdx + c30故(1)的通解为y = eJp(x)dx (J Q(x
7、)ep(x)dxdx + c)(3)注 求(1)的通解可直接用公式(3)二(2)伯努利(Bernoulli)方程形如空=p ( x) y + Q ( x) yn的方程，称为伯努利方程.d这里P (x), Q (x)为x的连续函数。解法：10引入变量变换Z =,方程变为攵=(1 )%)z + (1一心 dx2o求以上线性方程的通解3o变量还原三(1)、恰当方程的定义及条件1、定义若有函数 u (x, y),使得 du (x, j) = M (x, j) dx + N (x, j) dy则称微分方程 M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0,(1)是恰当方程此时(1)的通解为u
8、(x, y) = c.如f (x) dx + g (y )dy = 0xdy + ydx = 0M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0,(1)2方程(1)为恰当方程的充要条件定理1设函数M (x, y )和N (x, y)在一个矩形区域R中连续且有连续的一阶偏导数,则方程M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0,(1)为恰当方程的充要条件是*,y)=伽；：y),(2).3、恰当方程的求解(1)不定积分法1。判断M (x, y)dx + N(x, y)dy =。是否为恰当方程，若是进入下一步.20 求u (x, y),dudu由一二 M3, y)及=N3,
9、y).dxdy(2)分组凑微法采用“分项组合”的方法，把本身已构成全微分的项分出来，再把余的项凑成全微分.-应熟记一些简单二元函数的全微分.如：ydx + xdy = d (xy),ydx - xdy7Zxx=d (_),y2 y-ydx + xdy =yd (),x 2xydx - xdyxyydx - xdyx 2 + y 2ydx - xdyx 2 - y 2xd(In I -1), yx、d (arctan_),y).(3)线积分法这时,取(有,*) G R则 u(x, y)= j 3y)M(x, y)dx + N(x, y)dy(V y0)=j x M (x, y )dx +jy N
10、(x, y)dy,从而(1)的通解为jx M(x, y )dx + jy N(x, y)dy = c, c为任常数。-0y0X0三(2)、积分因子1、定义如果存在连续可微函数x, y)壬0,使得四(x, y)M (x, y)dx + 日(x, y)N (x, y)dy = 0 为恰当方程，则r (x, y)是方程的一个积分因子.2积分因子的确定r (x, y)是方程M(x, y)dx + N(x, y) = 0的积分因子的 充要条件是：dR(x, y)M (x, y) = dR(x, y)N(x, y)dydx、，dR睥。日dMdN、N - M = (-) Rdx dydydx3、定理微分方程
11、3r _ dRdM dN、N - M = (-) Rdxdydydx有一个仅依赖于x的积分因子的充要条件是仅与x有关，这时(1)的积分因子为(dM -dN)NR (x) = e。(x)dx,(dM -dN) y (x)=同理，微分方程 有一个仅依赖于y的积分因子的充要条件是(dM -dN)dydx-M仅与y有关,这时的积分因子为 () 二 e()d,(dy dx)这里中(y)=一-M一、可解出y(或x)的方程1、形如 y = f(x，*),dx方程的解法，这里假设f (x, y)有连续的偏导数。10引进参数p = y,则方程(2)变为y = f (x, p(3)20将(3)两边对x求导，并以空
12、=p代入,得 dx dfdf dpp-fP =二 +二了，(4) n 虫办办沛 dxd f伽这是关于变量x, p的一阶微分方程。(I) 若求得(4)的通解形式为P =中(x, C将它代入(3),即得原方程(2)的通解y = f (x，顿x，O，为任常数。(II) 若求得(4)的通解形式为x =w (p, C)则得(2)的参数形式的通解为x 7 (pC其中是参数,c是任意常数.y = f & (p, c), p),(III) 若求得(4)的通解形式为中(x, p, C) = 0则得(2)的参数形式的通解为(x, p, C) = 0其中是参数,C是任意常数.y = f(x，p)2、形如 1 = f
13、(以 %)，(9方程的解法,x = f (y, p),即这里假设f (y, V)有连续的偏导数。10引进参数=空 则方程(9)变为 20引入参数小引进参数。用参成曲线表示出来1 _ df1 = f + LdP,(10) 也=p 而Pydp dydySfd p这是关于变量y, p的一阶微分方程。若求得(10)的通解形式为 中(y, p, c) = 0则得的参数形式的通解为x = f(y,p)其中p是参数,c是任意常数. :(y,p,c) = 0二、不显含y (或x )的方程1 形如 F ( x ,红)=0 ,(11 )dx方程的解法，这里假设F(x, y)有连续的偏导数。设 p = 土，贝 IJ (1 1 )变为：F ( x , p ) = 0 , dx从几何上看，F (x, p)表示x p平面上的一条曲线 或若干条曲线.若能找到该曲线的参数 表示：x = 9(t), p =W (t),t为参数即满足：F (9 (t), W (t) = 0 ,10设p =半,则方程变为F(x, p) = 0,dx1x = 9 (t)20将上式两边对y求导,并以玄=1代入,得J x 9(t) dy p p =w(t)解的步骤：“关键一步也是最困难一步”30 把x =甲(t), p =W (t)代入dy = pdx,并两边积分得y = j W (t
