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1、和平行四边形有关的辅助线作法1利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图1,已知点0是平行四边形 ABCD勺对角线AC的中点，四边形OCD是平行四边形 求证:0E与AD互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形2 利用两组对边平行构造平行四边形例2如图2,在厶ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF, ED/AC, FG/AC交BC分别为 D, G. 求证：ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题3 利用对角线互相平分构造平行四边形例3如图3,已知 AD
2、是 ABQ的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF求证BF=AC.图说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行 四边形当已知中点或中线应思考这种方法二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题例4如图5,在厶ABC中，/ ACB=90，/ BAC的平分线交 BC于点D, E是AB上一点，且AE=AC EF/BC交AD于点F,求证：四边形 CDEF是菱形.例5 如图6,四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE长.Ti图6说明：菱形
3、是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多,常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种： （1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股 定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问 题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少 例6 如图7,已知矩形 ABCC内一点，PA=3, PB=4, PC=5求PD的长.GAIF/1 、1/ 1L.1二C图7四、与正方形有关辅助线的作法又是中心对称图形， 有关正方形的试对角线是解决正方形问题的常用辅正方形是一种完美
4、的几何图形， 它既是轴对称图形, 题较多解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形 助线例7如图8,过正方形 ABCD勺顶点B作BE/AC，且AE=AC又CF/AE.求证：/ BCF=2 /AEB.说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质通过连接正方形的对角线构造正方形 AHBQ进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题与中点有关的辅助线作法、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形.例1已知：如图，AD为 ABC中线，求证： AB AC 2AD.类题1已知：如图，AD为 ABC的中线，AE=EF.求证：BF=AC.C二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全
5、等三角形或平行四边形例2.已知：如图，在 ABC中，C 90 ,皿为AB中点，P、Q分别在AGBC上，且PM QM 于 M.求证：PQ2 AP2 BQ2.类题2已知： ABC的边BC的中点为N,过A的任一直线 AD BD于D, CE AD于 E.求证：NE=ND.三、有中点时，可连结中位线.例3.如图， ABC中，D E分别为AB AC上点，且 BD=CE M N为BE、CD中点，连 MN交 AB AC于 P、Q 求证：AP=AQ类题3已知：如图，E、F分别为四边形 ABCD勺对角线中点，ABCD求证：EF - AB CD2类题4.如图， ABC中，AD是高，CE为中线，DG CE，G为垂足，
6、DC=BE求证：（1） G是 CE的中点；（2） B 2 BCE.AC四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题例4.已知：如图，在 Rt ABC中， BAC 90 , AB=AC D为BC边中点，P为BC上一点，PF AB 于 F, PE AC 于 E.求证：DF=DE.类题5.已知：如图，矩形ABCDE为CB延长线上一点，且AC=CEF为AE中点，求证：BF FD A六、与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时，常见以下三种引辅助线法ABCD中, AD/ BC, ABBC , M为CD的中点求证：AM=MB.类题6.已知：梯形 ABCD中, AB/ CD E为BC中点，EF AD
7、于F.求证:S梯形ABCDEF AD .【作业】1、已知 ABCn DBE为等腰直角三角形，/ ABC* DBE=90 , A B、D在同一直线上， M N P分别是AD AC DE边上的中点，试说明 MP与MN的关系并证明。2、如果上题中 A、B、D不在同一直线上，其余条件不变，上述结论是否发生变化？证明结 论。3、平行四边形 ABCD对角线相交于点 Q P、E、F分别是AD OB 0C的中点，AC=2AB 求证：PE=EF4、等腰梯形ABCD中,OA BC的中点。BC求证： EFM是等边三角形。B5、如图，在四边形 ABCD中, AB=CD MN与 PQ互相垂直平分。M N、P、Q分别是A
8、D BCBD AC的中点。求证:C6、如图，在厶ABC中，E是AB的中点,CD平分/ ACB AD丄CD垂足为点 D,求证：2DE=BC-ACBC7、BD CE分别为 ABC外角平分线, 关系。附加题:(1) 若将上题中BD改为/ ABC的平分线，其它条件不变，则上题结论是否成立。(2) 若BD CE分别为/ ABC和/ ACB的平分线，其它条件不变，以上结论是否成立？(画图、 证明)8、A ABC中，AB=AC / BAC=，在 AB AC上截取 AD AE,且AD=AE连结 D吕如图1所 示，则易证BD=CE如图2所示，将 ADE逆时针针旋转到如图所示位置，连结BD C吕(1) 判断BD与
9、CE的数量关系及BD CE延长线所夹锐角的度数。A(2 )点G F分别是等腰的中点，试探索/ GPF与BABG等腰 ADE底边的中点,的关系，并加以证明。BEBAC=/ DAE=，点 P 是线段 CDB G请解答下列问题:9、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.(1) 写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；(2) 如图1,在厶ABC中，AB=AC点D在BC上，且CD=CA点E、F分别为BC AD的中点, 连接EF并延长交AB于点G.求证：四边形 AGEC是等邻角四边形；(3) 如图2,若点D在厶ABC的内部，(2)中的其他条件不变， EF与CD交于
10、点H.图中是 否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由.图1顺次连结 EF, FG, GH HE,C1、在四边形 ABCD中, E,F,G,H分别是AB, BC CD DA的中点,)C. / HEF = / EFGD. / HGF = / HEF(1)请判断四边形 EFGH的形状，并给予证明；(2 )试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形，并说明理由。2、如图,在四边形ABC中,AB=AD,CB=CD点M,N,P,Q分别是 AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形MNPQ!矩形.小结：中点四边形：对角线的四边形的中点四边形是菱形对角线的四边形的中点四边形是
11、矩形对角线的四边形的中点四边形是正方形对角线的四边形的中点四边形是平行四边形(1)顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 .(2) 顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是 (3) 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是 (4) 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是 顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 练习题：1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是( A.矩形B.直角梯形C菱形D.正方形2、如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池， 使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是A、等腰梯形 B、矩形 C、菱形
12、 D、正方形3、 .顺次连接一个四边形的各边中点， 得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是 ()平行四边形菱形等腰梯形对角线互相垂直的四边形A.B.C.D.4、 顺次连接四边形 ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD-定是A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形5. 如图，在梯形 ABCD中, AB/ CD AD=BC点E,F,G,H分别是 AB,BC, CD DA的中点，则 F列结论一定正确的是().B. / GHE = / HEFA. / HGF = / GHE6、如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩
13、形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1,则第n个矩形的面积7、我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD可以是8、 如图，点E、F、G H分别是任意四边形 ABCD中 AD BD BC CA的中点，当四边形 ABCD的边至少满足 条件时，四边形 EFGH是菱形.第9题图9、如图，四边形ABCD中 ,AC=a,BD=b,且ACLBD,顺次连接四边形 ABCD各边中点，得到四边形A Bi Ci D ,再顺次连接四边形 AB1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2B,如此进行下去，得到四边形ABGD.(1) 证明：四边形AiBGD是矩形；(2) 写出四边形ABCD和四边形AE2C2D的面积;(3) 写出四边形ABCD的面积；(4) 求四边形ARGC5的周长10. 如图，在四边形 ABCD中, E为AB上一点， ADE和厶BCE都是等边三角形， AB BC CD DA的中点分别为P、Q M N,试判断四边形 PQMF为怎样的四边形，并证明你的结论.
