《新版高考第一轮复习数学：2.12函数的综合问题教案含习题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新版高考第一轮复习数学：2.12函数的综合问题教案含习题及答案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 12.12 函数的综合问题知识梳理函数的综合应用主要体现在以下几方面：1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.3.函数与实际应用问题的综合.点击双基1.已知函数f（x）=lg（2xb）（b为常数），若x1，+）时，f（x）0恒成立，则A.b1 B.b1 C.b1 D.b=1解析：当x1，+）时，f（x）0，从而2xb1，即b2x1.而x1，+）时，2x1单调增加，b21=1.答案：A2.（2003年郑州市质检题）若f（x）是R上的减函数，且f（x）的
2、图象经过点A（0，3）和B（3，1），则不等式|f（x+1）1|2的解集是_.解析：由|f（x+1）1|2得2f（x+1）12，即1f（x+1）3.又f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象过点A（0，3），B（3，1），f（3）f（x+1）f（0）.0x+13，1x2.答案：（1，2）典例剖析【例1】 取第一象限内的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），使1，x1，x2，2依次成等差数列，1，y1，y2，2依次成等比数列，则点P1、P2与射线l:y=x（x0）的关系为A.点P1、P2都在l的上方B.点P1、P2都在l上C.点P1在l的下方，P2在l的上方D.点P1、P2都在l的下方剖析：
3、x1=+1=，x2=1+=，y1=1=，y2=，y1x1，y2x2，P1、P2都在l的下方.答案：D【例2】 已知f（x）是R上的偶函数，且f（2）=0，g（x）是R上的奇函数，且对于xR，都有g（x）=f（x1），求f（2002）的值.解：由g（x）=f（x1），xR，得f（x）=g（x+1）.又f（x）=f（x），g（x）=g（x），故有f（x）=f（x）=g（x+1）=g（x1）=f（x2）=f（2x）=g（3x）=g（x3）=f（x4），也即f（x+4）=f（x），xR.f（x）为周期函数，其周期T=4.f（2002）=f（45002）f（2）=0.评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、
4、周期性等性质.【例3】 函数f（x）=（m0），x1、x2R，当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=.（1）求m的值；（2）数列an，已知an=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1），求an.解：（1）由f（x1）+f（x2）=，得+=，4+4+2m=4+m（4+4）+m2.x1+x2=1，（2m）（4+4）=（m2）2.4+4=2m或2m=0.4+42=2=4，而m0时2m2，4+42m.m=2.（2）an=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1），an=f（1）+f（）+ f（）+f（）+f（0）.2an=f（0）+f（1）+f（）+f（）+f（1）+f（0）=+=.an=.深
5、化拓展用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.【例4】 函数f（x）的定义域为R，且对任意x、yR，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）=2.（1）证明f（x）是奇函数；（2）证明f（x）在R上是减函数；（3）求f（x）在区间3，3上的最大值和最小值.（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得fx+（x）=f（x）+f（x），f（x）+ f（x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），f（0）=0.从而有f（x）+f（x）=0.f（x）=f（x）.f（x）是奇函数.（2）证明：任取x1、x2R，且x1x2，则f（x1）f（x2
6、）=f（x1）fx1+（x2x1）=f（x1）f（x1）+f（x2x1）=f（x2x1）.由x1x2，x2x10.f（x2x1）0.f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），从而f（x）在R上是减函数.（3）解：由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在3，3上的最大值是f（3），最小值是f（3）.由f（1）=2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3（2）=6，f（3）=f（3）=6.从而最大值是6，最小值是6.深化拓展对于任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的
7、加法和乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数m，使得对于任意实数x，都有x*m=x，试求m的值.提示：由1*2=3，2*3=4，得b=2+2c，a=16c.又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立，b=0=2+2c.c=1.（16c）+cm=1.1+6m=1.m=4.答案：4.闯关训练夯实基础1.已知y=f（x）在定义域1，3上为单调减函数，值域为4，7，若它存在反函数，则反函数在其定义域上A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7C.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f1（x）的值域是
8、1，3.答案：C2.（2003年郑州市质检题）关于x的方程|x24x+3|a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是_.解析：作函数y=|x24x+3|的图象，如下图.由图象知直线y=1与y=|x24x+3|的图象有三个交点，即方程|x24x+3|=1也就是方程|x24x+3|1=0有三个不相等的实数根，因此a=1.答案：13.（2003年春季北京）若存在常数p0，使得函数f（x）满足f（px）=f（px）（xR），则f（x）的一个正周期为_.解析：由f（px）=f（px），令px=u，f（u）=f（u）=f（u+），T=或的整数倍.答案：（或的整数倍）4.已知关于x的方程sin2x2sinx
9、a=0有实数解，求a的取值范围.解：a=sin2x2sinx=（sinx1）21.1sinx1，0（sinx1）24.a的范围是1，3.5.（2004年上海，19）记函数f（x）=的定义域为A，g（x）=lg（xa1）（2ax）（a1）的定义域为B.（1）求A；（2）若BA，求实数a的取值范围.解：（1）由20，得0，x1或x1，即A=（，1）1，+）.（2）由（xa1）（2ax）0，得（xa1）（x2a）0.a1，a+12a.B=（2a，a+1）.BA，2a1或a+11，即a或a2.而a1，a1或a2.故当BA时，实数a的取值范围是（，2，1）.培养能力6.（理）已知二次函数f（x）=x2+
10、bx+c（b0，cR）.若f（x）的定义域为1，0时，值域也是1，0，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.解：设符合条件的f（x）存在，函数图象的对称轴是x=，又b0，0.当0，即0b1时，函数x=有最小值1，则或（舍去）.当1，即1b2时，则（舍去）或（舍去）.当1，即b2时，函数在1，0上单调递增，则解得 综上所述，符合条件的函数有两个，f（x）=x21或f（x）=x2+2x.（文）已知二次函数f（x）=x2+（b+1）x+c（b0，cR）.若f（x）的定义域为1，0时，值域也是1，0，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（
11、x）的表达式；若不存在，请说明理由.解：函数图象的对称轴是x=，又b0，.设符合条件的f（x）存在，当1时，即b1时，函数f（x）在1，0上单调递增，则 当1，即0b1时，则（舍去）.综上所述，符合条件的函数为f（x）=x2+2x.7.（2005年春季上海，21）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+），且f（2）=2+.设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N.（1）求a的值.（2）问：|PM|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.解：（1）f（2）=2+=2+，a=.（2）设
12、点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x00，由点到直线的距离公式可知，|PM|=，|PN|=x0，有|PM|PN|=1，即|PM|PN|为定值，这个值为1.（3）由题意可设M（t，t），可知N（0，y0）.PM与直线y=x垂直，kPM1=1，即=1.解得t=（x0+y0）.又y0=x0+，t=x0+.SOPM=+，SOPN=x02+.S四边形OMPN=SOPM+SOPN=（x02+）+1+.当且仅当x0=1时，等号成立.此时四边形OMPN的面积有最小值1+.探究创新8.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）.（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1；（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2V1.解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为42x，高为x，V1=（42x）2x=4（x34x2+4x）（0x2）.V1=4（3x28x+4）.令V1=0
