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1、勾股定理及其逆定理复习典型 例题勾股定理及其逆定理复习典型例题1. 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2） 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三 角形是直角三角形。2. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。3. 如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则
2、 ABC是以匕C为直角 的三角形（若c2a2+b2则ABC是以NC为钝角的三角形，若c2a2+b2则ABC 是以ZC为锐角三角形）二、例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是3： 4,斜边长是20，求此直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是3x，4*，根据题意得：（3x） 2+ （4*） 2=202化简得*2=16 ；.直角三角形的面积=1 x3xx4x=6*2=962注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求 解。例2、等边三角形的边长为2,求它的面积。解：如图，等边 ABC，作 ADBC于D则：BD= 1 BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中
3、线互相重 2合）AB=AC=BC=2 （等边三角形各边都相等）.BD=1在直角三角形 ABD 中 AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2-BD2=4-1=3AD= % 3注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为疽a4例3、直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm,求直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：J x + j + 5 = 12(1)X 2 + J 2 = 52(2)由(1)得：x+y=7,(x+y)2=49，x2+2xy+y2=49(3)(3) -(2)，得：xy=12.直角三角形的面积是1 xy= 1 x12=6 (cm2)22例4
4、、在锐角 ABC中，已知其两边a=1，b=3，求第三边的变化范围。分析：显然第三边b-acb+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不 能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求ABC为直角三角形时第三边的值。A解：设第三边为c，并设 ABC是直角三角形 当第三边是斜边时，c2=b2+a2，.c*.祯 当第三边不是斜边时，则斜边一定是 b，BCc=-2 (即胡) ABC为锐角三角形、/所以点A应当绕着点B旋转，使匕ABC、/成为锐角(如图)，但当移动到点a2位置时zACB成为直角。故点A应当在A1和A2间移动，此时2巨AC&0注：此题易忽视或中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边
5、，所以有两种情况要考虑。例5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是()A、8，15，17B、4，5，6 C、5，8，10D、8，39，40此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用 c2=a2+b2的变 形：b2=c2-a2= (c-a) (c+a)来判断。例如：对于选择支 D，V82(40+39) x (40 -39)，以8, 39, 40为边长不能组成直角三角形。答案：ABC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD例 6、四边形 ABCD 中，ZB=90, AB=3 的面积。解：连结AC:/B=90，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25 (勾股定理).
6、AC=5VAC2+CD2=169，AD2=169.AC2+CD2=AD2Z ACD=90 (勾股定理逆定理).S 四边形 abcd=Saabc+Saacd= 1 ABBC+1AC*CD=36 22本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。例7、若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2, n+3，求n。分析：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2= (n+3) 2化简得：n2=4n=2，但当 n=2 时，n+1= 1AABC 中，ZC=90, a=5, cb=1，求 b, c 的长。9、
7、如图： ABC中，AD是角平分线，AD=BD, AB=2AC。求证： ACB是直角三角形。三、练习题解答1、J5，152、6, 8, 103、8cm4、D5、D6、本题类似于例6,需连结AC证出AACD也是直角三角形,从而Zl+Z2=90, Z3+Z4=90, A ZDAB+ZDCB=1807、解：设第三边长为x, 当第三边是斜边时：*2=32+42=25,即*=5 当第三边不是斜边时，则斜边长为4： *2=4232,即*=行8、此题类似于例3解：根据题意得:一力2 = (c + )(c -b) = 25 fc + b = 25 . (c = 13c b = 1| c b = 1 b = 129、证明：作DE_LAB于EVAD=BD,DEAB2AE=AB （等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合）ZDEA=90 (垂直的定义)又 V AB=2AC.AE=ACVAD是角平分线.Z1=Z2在AACD和ZAED中AC = AE Z1 = Z2AD = ADAAACDAAED （SAS）AZC=ZAED=90 （全等三角形对应角相等）/. AACB是直角三角形
