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1、 基于微观结构的特征变形与转化 从基本不等式说起 上海师范大学附属中学 于建华一.基本不等式的理解 的几何解释：（如图）以为直径作圆，在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径基本不等式几何意义是：“半径不小于半弦”；1.向量视角 2.复数视角 3.函数视角恒成立，4.方程视角5.解几视角，因为到的距离不大于到原点的距离，即6.三角视角7.统计视角二.基本不等式的应用1.消元【例1】若，则的最小值为 【答案】【解析】由有所以，当且仅当时取等号；2.整体代换【例2】若为圆上的一个动点，且，则的最大值为()A2 B2 C4 D4【解析】由题意知APB90，所以|PA|2|PB|24，所以(当且仅当
2、|PA|PB|时取等号)，所以|PA|PB|2，所以|PA|PB|的最大值为2.3.均值代换【例3】设是正实数，且，则的最小值是 【解析】设，则，所以=。因为；所以。【练习】已知，则的最大值为_【解析】因为ab4，所以，令a2t，b2t，则f(t)，令ut255，则g(u)，当且仅当u4时等号成立所以的最大值为.4.整形【例4】如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b(2a10)，剪去部分的面积为8，则的最大值为()A1 B. C. D2【解析】由题意知，2ab8，则b，(2a10)，所以111，当且仅当a，即a6时，等号成立，
3、故的最大值为.5.配凑【例5】已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是_【答案】【解析】由可得， ，根据A、B、C三点共线可得，且，所以，所以最小值为，故填.6.重复使用【例6】若，则的最小值为_【答案】【解析】由题意，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值三.拓展学习 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：的一种“图形证明”证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为，右图中，设，右图阴影区域
4、的面积可表示为_ _（用含， 的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式 当且仅当满足条件_ _时，等号成立【答案】 【解析】由勾股定理知，所以，所以，所以，当且仅当时取等号。【巩固练习】1.求函数的值域.答案 (，31，)2.已知，且，那么取最小值时， _【答案】3.若为对立事件，其概率分别为，则的最小值为 【解析】为对立事件，其概率分别为，即 ，当且仅当时取等号4.已知且满足，则的取值范围是_【答案】【解析】，故.将变形为，设，所以，代入化简得5.已知点A是椭圆1上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且48，则点P的横坐标的最大值为_【答案】10【解析】当点P的横坐标最大时，
5、射线OA的斜率k0，设OA：ykx，k0，与椭圆1联立解得xA .又xAxPk2xAxP48，解得xP ，令925k2t9，即k2，则xP258080 10，当且仅当t16，即k2时取等号，所以点P的横坐标的最大值为10.6.已知的周长为6,且成等比数列,则的取值范围是_【答案】【解析】因为成等比数列,所以,从而,所以,又,即,解得,故.7.在中，角， ， 的对边分别为， ， ，若， ，则的最小值是_【答案】【解析】， ， , , 当且仅当时成立.8.已知等差数列的通项公式为，前项和为，若不等式恒成立，则的最小值为 .【解析】由题可知： 恒成立，即恒成立，设t=n+1，则，因为函数在， ，所以
6、，所以M的最小值是9.已知正项数列的前项和为，当时， ，且，设，则的最小值是_.【答案】9【解析】当 时， ，即 ，展开化为： 正项数列的前项和为 数列是等比数列，首项为1，公比为4 则 则 当且仅当即时等号成立.10.三棱锥的四个顶点都在球的球面上，已知， ， 两两垂直，且， ，则当三棱锥的体积最大时，球的表面积为_【答案】【解析】由题意，当且仅当时，三棱锥的体积最大，如图所示，将视为正四棱柱的一部分，则，即，可得，故球的表面积是： ，故答案为.11.求函数的最大值。【解析】函数的定义域为【1，5】，且y0 当且仅当时，等号成立，即时，函数取最大值12. 若不等式对任意对任意ABC都成立，则实数的最小值为_【答案】： 100 【解析】因为ksin2BsinAsinC19sinBsinC，所以由正弦定理可得kb2ac19bc，即k.又.因为cab，所以1，即100(要求最大值，19至少大于0)当且仅当119，即9时取等号
