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1、函数的应用举例例题解析1.几何问题类用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何 )问题，这是常 常出现的数学本身的综合运用问题.【例1】 如图2. 9 1, 一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点A 出发，沿正方形的边界运动一周，再回到 A点.若点P的路程为x,点P到顶 点A的距离为y,求A、P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式.图 2 9-1解 (1)当点P在AB上，即0x1时，AP=x,也就是y = x.(2)当点 P 在 BC 边上，即 1vxW2 时，AB=1 , AB + BP=x, BP = x-1,根据勾股定理，得 AP2=AB2+bp2y = AP = J
2、1+ (x -1)2 = Jx2 -2x +2.(3)当点P在DC边上，即2vxW3时，AD =1, DP=3 x.根据勾股定理，得 AP2=AD 2+dp2.y = AP = 1+ (3二x)2 = , x2 -6x 10(4)当点P在AD边上，即3xW4时，有y=AP = 4-x.所求的函数关系式为瑟1)J7- 2-卜 2y = jJ炉- 6K + 103)卜2.行程问题类【例2】 已知，A、B两地相距150公里，某人开汽车以 60公里/小时 的速度从A地到达B地，在B地停留一小日后再以 50公里/小时的速度返回 A 地，求汽车离开 A地的距离x表示为时间t的函数.解根据题意：(1)汽车由
3、A至IJ B行驶t小时所走的距离 x=60t, (0t2.5)(2)汽车在B地停留1小时，则B地到A地的距离x= 150(2.5 x 3.5)(3)由B地返回 A 地，则 B地到 A 地的距离 x=150 50(t3.5)=325 50t(3.5 V xw 6.5)60t(0t2.5)总之x =彳 150(2.5 t 3.5)325 50t(3.5t6002x2 60846002x得 x2 1200x + 60840(x0),解得 xw 5.1 或 x1194.9(舍)，圆弧弓形高的允许值范围是(0, 5.1.4 .营销问题类这类问题是指在营销活动中，计算产品成本、利润(率)，确定销售价格.考
4、虑销售活动的盈利、亏本等情况的一类问题.在营销问题中，应掌握有关计算 公式：利润=销售价进货价.【例5将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售 200件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件.问应将售价定为多少时，才能 使所赚利润最大，并求出这个最大利润.解 设每件售价提高x元，则每件得利润(2 +x)元，每天销售量变为(200 20x)件，所获利润y=(2 + x)(200 20x)= 20(x 4)2 + 720当x=4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润为720元.5 .单利问题类单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算.设本金为P元，每期利率为r,经过n期后，按单利
5、计算的本利和公式为Sn=P(1 + nR).【例6】某人于1996年6月15日存入银行1000元整存整取定期一年储蓄，月息为9?,求到期的本利和为多少？解 这里 P=1000 元，r=9?, n= 12,由公式得 S12= P(1 + 12r) = 1000X(1 + 0.009X 12)=1108 元.答本利和为1108元.6 .复利问题类复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金， 再计算下一期的利息.设本金为P,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,则复利函数式为y=P(1+r)x.【例7】某企业计划发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率6.5% 的复利计息，问
6、多少年后每张债券一次偿还本利和1000元？(参考lg2=0.3010,lg1.065 = 0.0274).解 设n年后每张债券一次偿还本利和1000元，由1000=500(1 +6.5%)n,解得 n=lg2/lg1.065 11.答 11年后每张债券应一次偿还本利和1000元.7 .函数模型类这个问题是指在问题中给出函数关系式，关系式中有的带有需确定的参 数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后，然后使问题本身获解.【例8】某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据， 用一个函数模拟该产品的月产品的月产
7、量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 y=abx+c(其中a、b、c为常数)，已知4月份该产品的产 量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.解 设二次函数 y1 = f(x)=px 2 + qx + x(p w 0)f(1) = p+q+r = 1则行(2) =4p+2q+r = 1.2e3) = 9p+3q+r = 1.3口= 0.05=q = 0.35r = 0.7y1=f(x)= 0.05x2+0.35x+0.7f(4)= -0.05X 16+0.35X4+0.7=1.3又 y=abx+ c， d a = - 0.8a-b+c=1一 o1得 a
8、b +c = 1.2= b =32a - b +c = 1.3 c = 1.41 x.y = -0.8(2)x + 1.4-r，1 ”当x=4时，y = -0.8(2)4 +1.4= 1.35 11经比较可知：用y = 0.8(2)x + 1.4作模拟函数较好.【例9】有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次x3是P和Q（万兀），它们与投入资金x（万兀）的关系是P = , Q=-G,今44投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？解 设投入甲产品资金为 x万元，投入乙产品资金为 （3 x）万元，总利润 为y万元.y = P
9、+ Q =-x+ 3V3-x(0x3)123-y = 4(3-t)+;t1 3 2 21=(t )4(2)1644令t=x 则x = 3 t2(0t12解得x9.84答 从1998年开始年产量可超过 12万件.9 .相关学科问题类这类问题是指涉及相关学科(如物理、化学等)知识的一类数学问题. 【例11在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n次测量分别得到a1, a2，-an,共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最 佳近似值” a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，求从a1，a2, , , an推出的a值.解 a 应满足：y=(a a)2+(a a2
10、)2+, + (a - an)2na - 2(a1 + a2 +, + an )a+ a1 + a2 +, + an此式表示以a为自变量的二次函数，2(a+a2+ +an)当a 二2na1 a2 an时，y有最小值., n0.na1 a2 - an止匕时a =n10 .决策问题类决策问题，是指根据已掌握的数据及有关信息，利用数学知识对某一事件进行分析、计算，从而作出正确决策的题.【例12】某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台，已知从甲地调运一台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至 A地、B地的运费分别为 300元和500(1)设从乙要调x台至A地，求总运费y关于x轴的函数关系式.(2)若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费.解 (1)y=300x + 500(6 x) + 400(10-x) + 80012 (10 x)=200(x + 43)(0 x 6, x C N)(2)当x=0, 1, 2时，yW9000,故共有三种方案，总运费不超过9000元.(3)在(1)中，当x=0时，总运费最低，调运方案为：乙地 6台全调B地，甲地调2台至B地，10台至A地，这时，总运费 y= 8600元.
