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1、武汉大学2004 年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目代码：804科目：高等代数一、设A为3阶矩阵，A *为其伴随矩阵, det A = 2，求 det(| A)-1 -10 A*). (10 分)二、计算n阶行列式D =na + a120a + a1 na + a2 n，其中 a 主 0, j = 1,2,n . ( 10 分)ja + an2二、设A为mxn矩阵，A的秩R(A) = Y ，证明存在mx Y矩阵B和Yxn矩阵C且R(B) = R(C) = Y，使 A = BC. (10 分)四、已知A3 = 2E,B = A2 - 2A + 2E，证明B可逆，并求出其逆.(15分)五、A为n
2、阶矩阵，A *为其A的伴随矩阵，证明：det A* = (det A) n-1. (20分)六、设A,B都是n阶正定矩阵，证明：( 1)AB 的特征值全大于零；( 10 分)(2)若AB = BA，则AB是正定矩阵.(5分)厂11、七、求矩阵A =:(即A中的每个元素都为1)的最小多项式.(15分)J1丿mxn八、设V是复数域上的n维线性空间，f, g是V的线性变换，且fg = gf，证明：(1) 如果九是f的特征值，那么V (九的特征子空间)是g的不变子空间；(8分)入(2) f, g 至少有一个公共的特征向量.(7 分)九、设A为n阶方阵，证明：如果R(A) + R(A -E) = n，则
3、A可对角化.(20分)十、设A,B是数域K上的mx n矩阵，且R(A) = R(B) ( R(A)是矩阵A的秩)。设齐次线性方程组AX =0 和 BX = 0 的解空间分别是 U,V 。 证明存在 K 上的 n 阶 可逆矩阵 T ，使得f (y) = Ty(Vy g U)是U到V的同构映射.(20分)武汉大学 2004年高等代数试题解答以下如有不妥之处还请大家批评与指正！ Godyalin于2006年2月14日星期二 一、解如3 小）=|3 A-1 - 10 小占1A113 A1 -10 A*1=213AA-1 10AA* 1= 213E 101 AI E1= 2I3E 5E1= -（2）n+
4、i二、解为此我们先证明这样一个事实设 A 是可逆矩阵，则有 CA-1D + CA -1B 丿，两边取行列式有A B-C D =I A11 D + CA-1B 1 -BD-1E厂 A + BD-1C. -C0 ）D丿两边取行列式有A B-C D =I DH A + 妙 由（1）（2）知 I D + CA-1 B I=凹 I A + BD-1C I （*） I AI回到本题的计算。将 D 改写为一列两个方阵之和的行列式，再凑成D + CA-1 B的形状D=n-2a1-2a2a +aa+a a+ a11121na+aa+a a+ a21222n a+aa+a a+ an1n2nn+D =-2a 丿n
5、f-2a1-2a、,M =-2a丿n想办法再把M的形式变成（*）中所需要的形式a 1 1fl0、-1厂111、2 0, /. AA* =1 AI E = 0rankA + rankA* n n rankA* 0, k = 1,2,nk(1)A, B正定，.A-i也正定，从而由I九A-1 - B I= 0的根全大于0,即I九E - AB I= 0的根全大于0,这说明AB的特征根全大于0(2) T AB = BA,.(AB) = BfAf = BA = AB ,.AB为正定矩阵h-1-1 -1-1h 1 -1-1-1 .-17七、解方法一、化九E - A为对角形hh (h- n)丿gA(h)=h(
6、h-n)又当九=0时有n-1个线性无关的特征向量,方法二、 fA(h) =IhE - AI= hn-1(h -n),gA(h)I fA(h)从而 A 可对角化，又 gA(h) = 0与 fA(h) = 0的根集相同， gA(h) = h(h -n)八、解(1) 欲证 匕是g的不变子空间，即Vae V, ga V即可，从而证f (ga) = h (ga)任取a & Vh，则由a是f的属于h的特征向量有fa=ha f (ga) = (fg W = (gf W = g (fa) = g 3)=九 g Q).gaw Vh(2) 将g限于到V上看，即g IV在其上任取一组基S，,知hh12s(3) g
7、IV在,，,下的矩阵为A，则IhE- A I= 0在复数域上必有根，不妨设卩为其一根,h12s则由(hE- A)X = 0解出 X，令y = ( ,，, )X 知012s 0g I匕(y)=旳，同时y w Vh有f (y) = hy从而f, g至少有一个公共特征向量。九、解rAA - E人-ErE ErEA - E、A - E丿r E 0、r E A-E、 j A E E 丿、E A A E 丿rEJ0A-E、A2 - A 丿rE A-E 、rE.0 A2 A丿I 0E-A、rEJj00、A2 - A丿rA:.rankj00、A - E丿rE-rankj00、A2 - A丿:.n = rankA + rank （A 一 E） = rankE + rank （A2 一 A）:rank （A2 一 A） = 0 n A2 一 A = 0 n A2 = A矩阵的秩与矩阵相等其详细证法，以及多种证法和其归纳见我论坛上的的文章十、（暂未做出）以下如有不妥之处还请大家批评与指正！ Godyalin于2006年2月14日星期二
