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1、习题课：函数的最值问题一、教学目标（一）知识目标：使学生掌握求函数最值的应用问题。（二）能力目标：使学生能掌握一般的应用题解题步骤，培养学生的发散思维，提高一题多解的能力。（三）情感目标：培养学生从多方面，多角度看问题的观点。二、教学重难点（一）重点：求函数的最值。（二）难点：求函数的最值。三、活动设计回顾 提问 演板 讲解 比较 小结四、教学过程（一）回顾知识：什么是函数的最值？函数的最大、最小值怎么求？一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：1）对于任意的xI都有f(x)M（f(x)M）;2)存在I，使得f()=M.那么我们称M是函数y=f(x)的最大（小）值。（二）实
2、例讲解例题：一个救生员在救生站里看到一名游泳者发生了危险。这名游泳者距岸60m，从海边到救生站的距离有150m。救生员在岸上的奔跑速度是每秒8m，在水里游泳的速度是每秒2m。救生员应以什么样的路线，才能以最短的时间到达那名出危险的游泳者？分析：首先看看已知条件给出了些什么，然后再画出草图，列出相关函数表达式。再判断用什么方法解题。解法一（求导数法）：根据题意，我们设救生员在岸上跑x m后跳到水里，再沿直线游到游泳者处。如图所示：再设救生员由救生站到游泳者处所用的时间为y。则可以列出以下函数关系式：（0x150）对函数y求关于x的导数得：则由解得：而 所以，当时，y有最小值。即当救生员在岸上跑
3、m后跳到水里，再沿直线游到游泳者处，才能以最短的时间到达那名出危险的游泳者。解法二（判别式法）：跟上面一样我们可以得到一个函数表达式：（0x150）移项整理得：两边平方整理得： 则我们可以得到：解不等式得：因为y0，所以故当时，时间最短，此时解得： 所以当救生员在岸上跑 m后跳到水里，再沿直线游到游泳者处，才能以最短的时间到达那名出危险的游泳者。解法三（三角函数法）：如图可设角A为显然有：则在直角三角形AOC中有：OC=60tg BC=150-60tg AC=设时间为y，则有：（）即： 令t=tg，则：（）求导数得：令解得：所以当取时，y取得最小值。故当取时，所用的时间y最小。五、小结求最大最
4、小值的方法有如下几种：（1）应用正余弦函数值域有界性求相关三角最值。说明：解决此类问题通常是将三角函数化简整理为y = Asin(x+)+b的形式，再利用 1sin(x+)1来求函数最值。（2）换元法求函数最值。 说明：换元法求函数最值主要用于含根式、复合变元等的函数，通过换元将复杂问题简单化，它常常与二次函数的值域相关联。（3）配方法求函数最值。说明：配方法常与换元法相结合，对于复合变元的二次函数的最值常用此法。 （4）判别式法求函数最值。说明：此方法是指利用一元二次方程根的判别式求函数最值的方法，它常用与分式形式的二次式的最值求解。（5）利用函数单调性求函数最值。说明：应用此法的关键是准确
5、判断函数的单调性。（6）数形结合求函数最值（7）求导数法六、作业 1） 有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点，且今计划俣建一个中心医院，为同时方便三镇居民就医，准备建在的垂直平分线上的处（建立坐标系如图），（1）若希望点到三镇距离的平方和为最小，点应位于何处？（2）若希望点到三镇的最远距离为最小，点P位于何处？ 2） 某水厂的蓄水池中有400吨水，水厂每小时可向莓水池中注入60吨水，同时蓄水池又向居民小区不断地供水，t 小时内供水总量为120吨（0t24）（1） 供水开始到第几小时，蓄水池中水量最少？最少水量是多少？（2） 若蓄水池中水量小于80吨，就会出现供水紧张现象，试问在一天内有几小时出现供水紧张现象？
