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1、一个令人费解的逆否命题陈翠花(河南师范人学数学与信息科学学院一河南新乡45 3002)作者在给“百千万骨干教师”讲授逻辑问题时,一位教师向我提出了一个令他困惑不解的问题,下面是解决此问题的全过程.(为叙述方便,把“百千万骨干教师”视为学生)问题:原命题若x0,则0.逆否命题若0,则x0.学生甲:逆否命题这样写对吗?教师:对呀.学生甲:原命题显然是真的,然而逆否命题怎么是假的呢?教师:这个问题提的好.(因为刚讲过逻辑研的对象,这个问题正好与逻辑研究的对象有关)请同学们讨论逆否命题到底是真还是假?学生乙:在实数范围内,x0不可能,所以逆否命题不存在.学生丙:不对. 0在复数范围内可以成立.如x=i
2、, =-10.学生丁:不行.x取复数时又与x0矛盾.教师:x取复数时与x0不矛盾也不行.因为原命题中x取实数,据形式逻辑的基本规律同一律,逆否命题中的x也应为实数,否则将违反同一律.学生讨论很激烈,但又找不到一个合理的说法,有学生开始怀疑是不是这个逆否命题与原命题不等价.教师:我们知道数学科学想推翻某个事实,只要举一个反例就可以了.我们能否以此例为反例,推翻原命题与逆否命题等价的结论呢?学生:不行吧?这个问题有意思.教师:看来这个问题还真是个问题呢?下面我来解释一下,大家看是否合理.上面刚讲过逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科(人教社版新教材教参语).由蕴涵式命题的真值表可知(如下表),当p假时,不论q是真是假,若p则q命题都是真的.现在把0记作p;x0记作q.在实数范围内 0假,所以不论x0真或假,若0则x0从形式上讲,都是真命题.学生点头,表示赞成.pq若p则q真真真真假假假真真假假真学生戊:我还有问题.你说过数学真命题不仅形式真,而且p,q还要真实,且具有因果关系.原命题是数学真命题,怎么解释逆否命题是数学真命题呢?教师:这个问题可以用集合的观点解释.记M=x/ 0= ,N=x /x0,因为M是N的真子集,所以,若0,则x0是数学真命题.到此学生相当满意.通过讨论,学生对逻辑研究的是思维形式这句话有了更深刻的理解,对集合与逻辑的关系也有了新的认识.
