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1、标准文案大学微积分I知识点总结【第一局部】大学阶段准备知识1、不等式:a2 b2 _ 2ab大全 annaia2.an_3abc3a3 b3 c3 丄 3abc引申aia2.ai a2. an n .n21 _1-+ a b“不兰匕兰；士2 2双向不等式：a - b|兰ab兰a + b两侧均在ab0或ab飞nXi +X2 +. +Xn !1n丿柯西不等式：设ai、a?、.a n,bi、b、. bn均是实数,那么有:aibi - a2b2 -. - anbn亠a? - . a tib 2 - b. bn 2 当且仅当,ai二,bj 为常数,i =i,2,3.n时取等号2、函数周期性和对称性的常用
2、结论1、 假设 f (x+a)=f (x+b),那么 f (x)具有周期性；假设 f (a+x)= f ( b-x), 那么f (x)具有对称性.口诀：“内同表示周期性,内反表示对称性2、周期性(1) 假设 f (x+a) =f (b+x),贝U T=|b-a|(2) 假设 f (x+a) =-f (b+x),贝U T=2|b-a|(3) 假设 f (x+a) = i/f (x),贝U T=2a(4) 假设 f (x+a)=【i-f (x)】/【i+f (x )】,那么 T=2a(5) 假设 f (x+a)=【i+f (x)】/【i-f (x)】,那么 T=4a3、对称性(1) 假设 f (a
3、+x) =f (b-x ),贝U f (x)的对称轴为 x= (a+b) /2(2) 假设 f (a+x) =-f (b-x) +c,那么 f (x)的图像关于(a+b) /2,c/2 )对称4、函数图象同时具备两种对称性,即两条对称轴,两个对称中央,一条对称轴 和一个对称中央,那么函数必定为周期函数,反之亦然.(1) 假设f (x)的图像有两条对称轴x=a和x=b,那么f (x)必定为周期函数,其 中一个周期为2|b-a| .(2) 假设f (x)的图像有两个对称中央(a,0)和(b, 0),(a b),那么f (x) 必定为周期函数,其中一个周期为2|b-a| .(3) 假设f (x)的图
4、像有一个对称轴x=a和一个对称中央(b,0),( a b), 那么f (x)必定为周期函数,其中一个周期为 4|b-a| .正弦sinf二-l余切coL =mn倒数关系：1余弦cos二ml正害U seC丄m正切 tan_：二m余害U esc,-ntan= cote商的关系：sin；：丄 一 sec.: tan_ =cosCSC:：平方关系：1csc.:cos.:s=cot；:=CSC-：sec.:cos.:二1sec 2 - 2 .sin cos 1tan2A 二2tanA21-tan Acos3a =4cosa cos +a cos -a !31-tan2cosa 二1 tan2E j-ta
5、n*tan；： - tan:1 tan-taw和差化积公式：半角公式：2 sina = 1 1- cosa2 22 cos厲、1“-丨=一(1 +cosa),2丿2V丿丄 a sina 1-cosatan 丨=2 ) 1+cosa sinaa、 sina 1+cosacot - i =2 ) 1 - cosa sina 三倍角公式：sin 3a=4s in a *si n 二+a i!*si n 二-a I13 丿 13丿3,兀 、tan3a = tana tan +a !tan a i no, k为自然数)时命题成立,证实当n=k+1时命题也成立(2) 第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命
6、题 P( n) 验证n=no时P(n)成立 假设nono)成立,能推出Q(k)成立,假设Q(“成立,能推出P(k) 成立.5、初等函数的含义概念：初等函数是由幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常 数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生,并且能用一个解析式表 示的函数.【有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】【根本初等函数：对数函数、指数函数、幕函数、三角函数、反三角函数】6、二项式定理：即二项展开式,即(a+b) n的展开式a b n =CnoanCn1an-1. Cnkan-k *bk . - Cnnbn 其中Cnk称为二次项系数Cnkan-k *b
7、k叫做二次项展开式的通 项,它是第k 1项,用Tk 1表示其中,Cnkn n -1. n - k -1 丨 k-1=Cn(k-1 ! knn-k 17、高等数学中代换法运用技巧 倒代换把原式中的一个变元或原式中的一局部用另一个变元的倒数来代替,此种方法被称为“倒代换法 增量代换假设题目中xm,那么引入辅助元x=m+a(aO),再将辅助元代入题中解题. 此种代换方法称为“增量代换法 三角代换2 2 2 2 2 2x a、a x、x a 双代换xnlim -:引入两个辅助元进行代换n - yn8其他一些知识点(1) 0不是正数,不是负数.是自然数.0是偶数,偶数分为：正偶数、负偶数和0(2) 正偶
8、数称为“双数(3) 正常数：常数中的正数(4) 质数：又称“素数.一个大于1的自然数,如果除了 1和它自身以外,不能被其他自然数整除的数,否那么称为“合数.最小的质(素)数是2.1既不是素数,也不是合数.(5) exp：高等数学中,以自然对数e为底的指数函数(6) 在数学符号中,sup表示上界；inf表示下界(7) 三：表示恒等于(8) 0的阶乘是1.阶乘是一个递推定义,递推公式为：n! =n (n-1 )!由于1 的阶乘为1,即1! =1 X 0!,故0! =1【第二局部】函数与极限常用结论(等价无穷小很重要)1 x n -1 nx1 11 x n -1 xnex -1 xex -1 x x
9、 v1时成立1-x旦汨nmx1 xv 1-,nr 1、1 + 丨 t e 其中,I n丿e 2.718,e为初等函数,又称“幕指函数,e即根据此公式得到,11n12 22 . nnn 1 2n 16_2,3 斥3 n n 112 - . - n :1 22丄丄 ns 二 a a . an 1a -a s 二a-1a - bn = a - b aC-1+an-2 b + . +bn-11 1 _ m u m a - ba - bm-1|m-2.a +a *b+.+bm-1|假设 lim u x 二 a0,lim v x 二 b a、b为常数X0x 必0,那么 lim ux $x=ab1 f x
10、匕 L e一些重要数列的极限:In 1 x xxe -1 xax-1r xlnaarcsinx； xarcta nx；另一些重要的数列极限:1 厂 ok o|imqn =0 q v1 为常数町二心1nnnr0a为常数lim 需=1n匸xr 0时,sinx r xtanx x1-cosx 列举一些趋向于o的函数: q V1, q t 0 a0, b0,a 0(n-c)n a1,二 0n 丄?0Inn柯西极限存在准那么：柯西极限存在准那么又叫柯西收敛原理.给出了极限收敛的充分必要条件是： 对于任意给定的正数,存在这样的正整数N,使得当m N, n N时就有|x n-x T .这个准那么的几何意义表示,
