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1、精品文档矩阵等价与向量组等价的关系向量组等价1,2 ,n 和1 ,2 ,n 可以相互线性表示.记作：1 , 2 ,n1, 2,n矩阵等价（必须含有相同的行数m，相同的列数n，即必为同型矩阵）矩阵的等价与向量组的等价没有任何必然的联系！如果两个 n 维向量组等价 ( 说明矩阵有 相同的行数 ) , 则以它们为列向量组成的矩阵A,B 的秩相等 , 但是不一定等价 ,因为这两个矩阵的列数可能不同. 比如 , 一个 3 行 1 列的矩阵与一个3 行 2 列的矩阵根本谈不上等价与不等价.（如果 A,B121的列数相同 , 则它们等价） 例如向量组 I ： 0与向量组 II ： 0,0等价，但变为矩阵就不
2、等价。000两向量组等价是指两向量组可以互相线性表示，应注意两向量组等价他们所含向量个数可以不一样的！但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数！如果矩阵A,B 等价 , 则它们的行向量组与列向量组 也未必等价 . 比如 ,4 阶单位矩阵从中间划一竖线分成两个矩阵 A,B, 这两个矩阵是等价的, 但是它们的列向量组不是等价的.看一个具体的例子：100100101A 010r3 r1 B010c3 c1C010000100101。1 欢迎下载精品文档矩阵 A 经初等行变换化为矩阵B ， 矩阵 A, B 行等价， A, B 的行向量组等价，但列向量组不等价！矩阵 B 经初等列变换化为矩阵C， 矩阵
3、 B, C 列等价， B, C 的列向量组等价，但行向量组不等价！矩阵 A 经初等变换（包含行变换和列变换）化为矩阵C，矩阵 A,C 等价，但他们的行、列向量组均不等价！所以，矩阵进行初等行变换后，其列向量组不一定等价！矩阵进行初等列变换后，其行向量组不一定等价！显然，两矩阵A, B 等价，不能推出他们的行向量组一定等价或者列向量组一定等价。在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？若矩阵A经初等 列变换 成为矩阵，即存在可逆矩阵，使= ，也可以写为（ 1，2，n） =（ 1，2，BQAQ BQn），此时可知B的列向量组可以由A的列向量组线性表示，因为Q为初等矩阵的乘积，所以可逆，对=两
4、边右乘AQ BQ -1 ，有 A=BQ -1 ，故 A 的列向量组可以由B 的列向量组线性表示。此时可得A 的列向量组与 B的列向量组等价 。同理可知：若矩阵A 经初等 行变换 成为矩阵 B，则 A 的行向量组与B 的行向量组等价。在什么情况下向量组等价其对应的矩阵也等价呢？若 m维向量组A与向量组 B 均有 n 个列（行）向量，且两个向量组等价，则这两个向量组所作成的矩阵A 与 B 等价！（因向量组 A 与向量组 B 等价，所以它们有相同的秩， 则以它们为列 （行） 向量组成的矩阵 A,B 的秩相等， 因向量组 A 与 B作成的矩阵 A 与 B 有相同的行与列， 且秩相等， 故矩阵 A 与 B 等价），要求两个向量组有相同个数的向量，是因为矩阵等价的首要条件是两矩阵具有相同的行数与列数，故只有对于均有n 个向量的两个m维向量组 A与 B，才有可能讨论其对应的矩阵A 与 B 是否等价。2 欢迎下载精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。3 欢迎下载
