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1、抛物线的定义及其标准方程教案 教学目标1使学生理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步利用它们解决有关问题2通过教学，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，既教猜想，又教证明3培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题教学重点与难点抛物线标准方程的推导及有关应用既是教学重点，又是难点教学过程师：请同学们回忆椭圆和双曲线的第二定义生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨道，当e1时，是椭圆，当e1时，是双曲线(计算机演示动画图2-45)(1)不妨设定点F到定直线l的距离为p(2)通过提问，让学生思考随着e的变化曲线的
2、形状的变化规律同时演示动画，让学生充分体会这种变化规律，为学生猜测e=1时曲线形状奠定基础师：那么，当e=1时，轨迹的位置和形状是怎样的？大胆地猜一猜！(可请学生直接画出自己想象中曲线的形状，并利用投影展示)师：同学的猜测对不对呢？请同学看屏幕(图2-46)我们利用电脑精确地计算展示到定点F的距离和它到定直线距离的比为1的点的轨迹师：你见过这种曲线吗？(抛物线)这就是我们这节课主要的研究对象(师板书课题抛物线的定义及其标准方程)师：能否给抛物线下个定义？生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是1的点的轨迹叫抛物线师：换句话说，就是与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F
3、叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线(投影)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线师：它的方程是什么样子呢？我们可以预先做一个估计如图2-47(1)，椭圆的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：如图2-47(2)，双曲线的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：在方程中都仅有x、y的二次项当e=1时，图形变成了开口的一支，从而丧失了关于y轴和原点的对称性，那么方程将会发生怎样的变化？生：在方程中，一定会失去x2项，而且会出现x的一次项，(否则方程变成y2=b2，它表示直线)所以方程应为Ay2+Bx+C=0的形式师
4、：同学的猜测对不对呢？可否从理论上给予说明？生：建立直角坐标系师：如何建立？学生甲：取经过定点F且垂直于定直线l的直线为x轴，设x轴与l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，设所求轨迹上一点坐标为M(x，y)师：点M满足什么条件？生：到定点F的距离和到定直线l的距离的比是1师：这些条件能否转化成点M的坐标所满足的条件？请同学化简上式，并通过投影展示演算过程，得：y2=2px(1)师：显然符合预想的形式这个方程就叫作抛物线的标准方程在你以往的学习过程中，是否见到过类似这种形式的方程？生：二次函数的表达式师：若将x与y换个位置，它就是缺少一次项和常数项的二次函数，而曲线的形状也与抛物线完全一致
5、师：由于抛物线开口方向的不同，共有4种不同情况(计算机演示图2-48)师：请同学们写出其它3种情况下的标准方程、焦点坐标及准线方程，并说明理由观察图形，分辨这些图有何相同点和不同点生：共同点有：原点在抛物线上对称轴为坐标轴准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一不同点：抛物线的焦点在x轴上时，方程左端是y2，右端是2px；当抛物线的焦点在y轴上时，方程左端是x2，右端是2py开口方向与x轴(y轴)正半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的正半轴上，方程右端取正号开口方向与x轴(y轴)负半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的负半轴上，方程右端取负号师：作为
6、应用，请同学们看下面的例题(展示投影)例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程(2)分析 要求抛物线的标准方程，需确定焦点在y轴的负半轴上，求出p值例2 经过抛物线的焦点F，作一条直线垂直于x轴，和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2求y1y2的值(计算机演示图形图2-49)师：首先弄清题意条件有哪些？求什么？如何求？(师板书)故y1y2=-p2师：还有其他办法吗？可否根据抛物线的定义？生：如图2-50，根据抛物线的定义，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1y2=-p2引申1：上例中若缺少“垂直于
7、x轴”的条件，结果怎样？(计算机演示动画图2-51)师：由于缺少垂直的条件，上例中的方法均不适用了怎样求交点坐标？生：只需求直线方程与抛物线方程的公共解师：如何建立直线方程？生：利用点斜式(请同学自行写出解题过程，并利用投影仪展示解题过程)与抛物线方程联立，消去x可得：引申2：以AB为直径的圆和准线具有怎样的位置关系？(计算机演示动画图2-52)学生乙：以AB为直径的圆和准线相切师：能否给予证明？这作为思考题，请同学们课下完成师：请同学小结这节课的内容(抛物线的定义；p的几何意义；标准方程的4种形式)作业：课本第98页习题八：1，2设计说明1关于教学过程(1)由于抛物线的定义是本章的主要内容之
8、一，因而将它作为教学目标之一(2)MM教学方式在课堂教学中十分重视的一个方面就是合情推理方法的运用，逻辑思维能力的提高以及良好个性品质的培养这对于提高学生的一般科学素养，形成和发展他们的数学品质，必将起着十分重要的作用，因而制定了目标2(3)按照大纲的要求，在教学中培养学生运用数学思想方法解决有关问题，据此制定了目标32关于教学重点为实现教学目标，把充分展现抛物线的定义及标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成的过程作为本节课的重点3关于教学方法按照MM教学方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，提高能力、增长才
9、干，采用启发式4关于教学手段利用计算机辅助教学，演示图形的动态变化过程，弥补传统教学手段(如投影片、模型等)的不足之处(1)在新课引入部分，通过动画演示，使学生充分理解并且掌握3种圆锥曲线的统一定义，以及曲线形状变化与常数e的大小之间的关系(2)在抛物线定义的引入部分，利用电脑精确测算“两个距离”，以及动点M的任意选取，充分展示了满足条件的点的轨迹，避免了传统教学中此处的生硬与牵强(3)在例2及引申中也采用动画演示，弥补了投影片无法实现的动态效果5关于教学过程(1)复习内容的确定，旨在通过联想，为运用类比方法探索抛物线的定义奠定基础(2)通过引导学生观察椭圆、双曲线图形的变化规律，类比、联想、进而猜想出e=1时轨迹形状是抛物线，然后进行推理证明即通过既教猜想、又教证明这一MM可控变量的操作，旨在揭示科学实验的规律，从而暴露知识的形成过程，体现科学发现的本质，培养学生合理推理能力、逻辑推理能力、科学的思维方式、实事求是的科学态度及勇于探索的精神等个性品质(3)学以致用是教学的主要目标之一，在例题求解过程中，运用波利亚一般解题方法，培养学生合理的思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的工作习惯(4)让学生小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力
