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1、综合技能部分(I )折叠问题1.如图1,正厶ABC的边长为2a, CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC边的中点现将 ABC沿 CD翻折成直二面角 A DCB (如图2).的位置关系，并说明理由;(I)试判断翻折后直线 AB与平面DEF(n)求二面角 BAC D的余弦值（图2）2.已知等腰梯形 PDCB中(如图1) , PB=3,DC= 1 , PB=BC =2 , A 为 PB 边上一点，且 PA= 1 ,将PAD沿AD折起，使面 PAD丄面ABCD (如图(I) 证明：平面 PAD丄PCD ；2）.(n)试在棱 PB上确定一点 M，使截面 AMC ,把几何体分成的两部分VPDCMA ：
2、VMACB 2 ：1 ?(川)在M满足(n)的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.3 .已知矩形 ABCD中，AB= 2AD= 4, E为CD的中点,AE将三角形 AED折起，使DB= 2 3如图，OH分别为AE、AB的中点.求证：直线0H/面BDE求证：面 ADEL面 ABCE求二面角0- DH一 E的余弦值.(II )探索性问题4. 如图在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PDL底面ABCD过D与PB垂直的平面分别交PB PC于 F、E。(1) 求证：DEI PC;(2) 当PA/平面EDB时，求二面角 E BD C的正切值。AiDA5. 如图，矩形 ABCD和梯形B
3、EFC所在平面互相垂直，BE/ CF且BEv CF,JL/ BCF= , AD= 3 , EF=2.2(I)求证：AE /平面DCF;AbBE()设= k 当鼻取何值时 一面角 A EF C的大小讳二？6 如图所示，在直三棱柱 ABC AEG中，AB = BB,AG丄平面A,BD,D为AC的中点.(I)求证：B1C/ 平面 A1BD ;(n)求证：BiG 平面 ABBA ；(川)设E是CC-i上一点，试确定E的位置使平面ABD _平面BDE，并说明理由.7.如图所示，在正方体 ABCDABCiDi中，E为AB的中点(1)若F为AA的中点，求证：EF /面DD1C1C ;Ai(2)若F为AA,的
4、中点，求二面角A- EC - D1的余弦值;AEB(3 )若F在AA,上运动时(F与A、A不重合)，求当半平面 D1EF与半平面 ADE成一的角时，线段 AF与FA的比.48.如图，已知空间四边形 ABCD中，BC二AC,AD=BD , E是AB的中点.求证：(1)(2)(3)AB _平面CDE 平面CDE _平面ABC .若G为.ADC的重心，试在线段AE上确定一点F,使得GF/平面CDE9.如图，在四棱锥 P-ABCD，则面PADL底面 ABCD侧棱PA=PD=2，底面ABCD直角梯形，其中BC/ ADABL ADAD=2AB=2BC=2, 0为 AD中点.(1) 求证：POL平面ABCD
5、(2) 求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(3) 线段AD上是否存在点 Q使得它到平面 PCD的距离为亠3 ?若存在,2(第 9题图)求出竺的值；若不存在，请说明理由QD10.已知斜三棱柱 ABC ABC的底面是直角三角形，/C=90,侧棱与底面所成的角为a ( 0V a V 90),点B1在底面上的射影D落在BC 上.(I)求证：()当ACL平面 为何值时,(出)若=arccosBBGC;AB丄BG,且使D恰为BC中点？13，且AC=BC=AA寸,求二面角 C AB- C的大小.3(III )多面体已知 AB丄平面 ACD DE/AB, ACD是正三角形， AD=DE=2AJB且1F11.
6、如图，是CD的中点；(1) 求证：AF/平面BCE(2) 求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.E第12题12.如图，等腰梯形 ABEF中，AB/ EF , AF BF , 0为AB的中点，矩形ABCD 互相垂直.(I)求证：AF _平面CBF ;(H)设FC的中点为M，求证：0M (川)求三棱锥C - BEF的体积.AB =2, AD 二 AF=1 ,所在的平面和平面 ABEF/平面DAF ;13 .已知在多面体 ABCDE中，AB丄平面 ACD , DE / AB, AC = AD = CD = DE = 2 , F为CD的中点.(I)(n)(川)求证：AF丄平面CDE ;求平面 A
7、BC和平面CDE所成的小于90的二面角的大小; 求点A到平面BCD的距离的取值范围.C综合技能部分参考答案 (I )折叠问题(I)T在图2中，E、F分别为AC BC中点， AB/EF1.解：而 AB 学面 DEF EFu 面 DEF AB 面 DEF(n)在图2中，作DG_AC,垂足为G,连BG.易证 BDG为Rt BGD为二面角B - AC - D的平面角a 3a * 3 在 BDG 中，BD 二 a,DG 二2aa . BG = BD2 DG22/DG Vacos 乙 BGD2BG 0又OA=G 2,0,0)是平面DOH的法向量,| 2LI. 3z3由图二面角C DH- E为锐角，所以，二
8、面角O- DH- E的余弦值为一33)探索性问题4 .解：(1)证明：幕PB _平面DEF PB _ DE(II又；PD _平面ABCD又BC _ DC BC _ 面 PDCDE 平面PDC从而DE!平面PBC(2)连AC交BD于O,连由PA/平面EDB及平面DE _ PCEOEDBH 平面 PACT EO 知 PA/EO O是正方形ABCD勺对角线AC的中点 E为PC的中点又 DE PC PD DC设PD=DC=a取DC的中点 H 作HG/CO交BD于 G贝U HGL DB EH/PD . EH 平面 CDB由三垂线定理知 EGL BD故.EGH为二面角E BD C的一个平面角。易求得 EH
9、 =PD =a HG =OC =- a2 2 2 2D.tan. EGH =岂 -二面角E BD-C的正切值为 2GH 25 .解：(I )解法一：T 四边形ABCD是矩形, AB/ DC又 BE / CF , ABA BE=B 平面 ABE/平面 DCF .解法二：过 E作EG/ BC交FC于G,连结DG , BE/ CF ,四边形BCGE是平行四边形 ，四边形ADGE&是平行四边形 ， AE/ DG . 又 AE 丁 平面 DCF, DG 平面 DCF ,(II )解法一： 过E作GEL CF交CF于G由已知 EG / BC/ AD 且 EG=BC=AD EG=AD= 3 ,又 EF=2,
10、 GF=1 .四边形 ABCD是矩形， DCL BC .BCF , FCL BC,又平面 AC丄平面 BF,平面 ACA平面 BF=BC FC丄平面分别以CB又 AE二平面 ABE - AE/ 平面 DCF . AE/ 平面 DCF .设BE=m由A (.3,T二 AE =(0 , - m ,z EG/ BC/ AD,且 EG=BC=A,FEAC , FC丄 CD .CD CF为轴建立空间直角坐标系.AB得 AB= m .BE0) ,E(3,T,m) , EF =_ T n =(x , y ,T-n =0 ,得*设平面AEF的法向量T T 由 AE - n=0, EF0, m),F(O , 0, m+1),(3,0,1 ).令 y =、3又CD =可得平面z),J；my mz = 0-.3x z = 0AEF的一个法向量 n=(,(0 , m,_ | CD n |CD| n |3n cos30)是平面CEF的一个法向量即3 m .4 23 m3J.y 亠 Z = 0一 i 3x z = 0、3 ).3解得=32当
