《新编高考数学理科二轮复习【专题8】坐标系与参数方程含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新编高考数学理科二轮复习【专题8】坐标系与参数方程含答案（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲坐标系与参数方程考情解读高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识高考中以解答题形式出现，中档难度1直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则，.2直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直
2、线过极点：；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过点M(b，)且平行于极轴：sin b.3圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r的圆的方程为220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：2rcos ；(3)当圆心位于M(r，)，半径为r：2rsin .4直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)5圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数，02)6圆锥曲线的参数方程(1)椭圆1的参数方程为(为参数)(2)抛物线y22
3、px(p0)的参数方程为(t为参数)热点一极坐标与直角坐标的互化例1在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos()3和sin28cos ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长解cos()cos cos sin sin cos sin 3，直线l对应的直角坐标方程为xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲线C对应的直角坐标方程是y28x.解方程组，得或，所以A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.即线段AB的长为16.思维升华(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在与曲线的方程进行互化时
4、，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性 在极坐标系中，曲线C1：(cos sin )1与曲线C2：a(a0)的一个交点在极轴上，求a的值解(cos sin )1，即cos sin 1对应的普通方程为xy10，a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将代入x2y2a2得a.热点二参数方程与普通方程的互化例2已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆y21上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值解由于直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x2y0.因为P为椭圆y21上的任意一点，故可设P(2cos ，sin )，其中R.因此点P到直线l的距离是d.
5、所以当k，kZ时，d取得最大值.思维升华(1)参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形 (20xx课标全国)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(02)当时，d0，故
6、M的轨迹过坐标原点热点三参数方程及其应用例3在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若，直线l的参数方程为 (t为参数)，点P的直角坐标为(2,2)，直线l交圆C于A，B两点，求的最小值解(1)设M(，)为圆C上任一点，在OMC中，MOC，MC1，MO，OC，由余弦定理得：122()22cos，即22cos10为圆C的极坐标方程(2)圆C的普通方程为(x1)2(y1)21，将直线l的参数方程代入上述圆方程化简得t22(sin cos )t10，由直线参数方程的几何意义得PAPB2|sin cos |，PAPB1，故，由，得的最小值为.思维升华(1)参数方程化为
7、普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义 (20xx辽宁)将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得由x21y1得x2()21，即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2
8、的中点坐标为(，1)，所求直线斜率为k，于是所求直线方程为y1(x)，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即.1主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题2规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度3极坐标方程与普通方程互化核心公式，.4过点A(0，0) 倾斜角为的直线
9、方程为.特别地，过点A(a,0)，垂直于极轴的直线l的极坐标方程为cos a.平行于极轴且过点A(b，)的直线l的极坐标方程为sin b.5圆心在点A(0，0)，半径为r的圆的方程为r2220cos(0)6重点掌握直线的参数方程(t为参数)，理解参数t的几何意义.真题感悟1(20xx江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，求线段AB的长解将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x，得24，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.2(20xx课标全国)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C
10、的极坐标方程为2cos ，0，(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标解(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t)(2)设D(1cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐标为(1cos ，sin )，即(，)押题精练1在直角坐标系中圆C的参数方程为 (为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程解由参数方程消去得圆C的方
11、程为x2(y2)24，将xcos ，ysin ，代入得(cos )2(sin 2)24，整理得4sin .2已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程为4cos.(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为，求实数a的值解(1)由4cos，得4cos 4sin .即24cos 4sin .由得x2y24x4y0，得(x2)2(y2)28.所以圆C的直角坐标方程为(x2)2(y2)28.(2)直线l的参数方程可化为y2xa，则由圆的半径为2知，圆心(2，2)到直线y2xa的距离恰好为.所以，解得a6.(推荐时间：60分钟)1(20xx安徽改编)以
12、平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，求直线l被圆C截得的弦长解直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是yx4，圆C的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0.圆C的圆心(2,0)到直线xy40的距离为d.又圆C的半径r2，因此直线l被圆C截得的弦长为22.2(20xx福建)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围解(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的
13、普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.3已知曲线C的极坐标方程是2sin ，设直线l的参数方程是(t为参数)(1)将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求MN的最大值解(1)曲线C的极坐标方程可化为22sin ，又x2y22，xcos ，ysin ，所以，曲线C的直角坐标方程为x2y22y0.(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y(x2)，令y0，得x2，即M点的坐标为(2,0)又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，半径r1，则MC.MNMCr1，即MN的最大值为1.4(20xx辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值解(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为，
