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1、精品文档#欢在下载开一数学组教研材料（裂项相消法求和之再研究张明刚一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项基本类型:1.形如2.形如3.an4.5.6.形如7.形如8.n(n k)1）型。kn n+ 1 n n+ 1an2n- 1 2n+1(2n)2(2n 1)(2n 1)n(n 1)( n 2)n 21n(n 1) 2nn+ 1 man=而ZT型4n2 (2n 11)型;2n 12 2n 12(n 1) nan=Z匚 17匚 1n+ 1n(n1)(n1)(n 2)一 则 Sn1(n1、-n 1)2型;2n ( n 1)n (n1) 2n n (n1) 2n (n1) 2n119.形如 a
2、n=.n v nan1(n 1). nn% n10.11.n n!14.tantann!tan12. cm1Cmn 1Cmn13. anSnSntan(tan 1)15.利用两角差的正切公式进行裂项把两角差的正切公式进行恒等变形，例如tan(tantan1 tan tan可以另一方面，利用tan1 tan k 1 ktan(k 1)tan k得1 tan(k 1) tan ktan(k 1) tan k tan(k 1) tanktanl16利用对数的运算性质进行裂项对数运算有性质log a M log M17利用排列数或组合数的性质进行裂项log N ,有些试题则可以构造这种形式进行裂项排列
3、数有性质n n! (n 1)! n!,组合数有这样的性质Cm Cm1cnm 1,都可以作为裂项的依据例7求和：1 1! 2 2!n n! 分析直接利用n n! (n1)! n!可得结果是(n 1)! 1.18.求和：Sn C22 c；n2 占23323Cn.有 Ck Ck 1 Ck，从而 SnC2 Cn 133C3Cn1.裂项相消法求和之再研究一项拆成两项，一、多项式数列求和。消掉中间所有项，剩下首尾对称项(1)用裂项相消法求等差数列前n项和。即形如an an b的数列求前n项和此类型可设an (An2 Bn) A(n 1)2 B(n 1) an b左边化简对应系数相等求出A,B。则 Sn a
4、1 a2 a3Lan(A B) 0 (4A 2B) (A B) (9A 3B) (4A 2B) L(An2 Bn) A(n 1)2 B(n 1).2_An Bn例1：已知数列 an的通项公式为an 2n 1 ,求它的前n项和Sn。解：令 an (An2 Bn) A(n 1)2 B(n 1) 2n 1则有 an 2 An B A=2n 12A 2 A 1B A 1 B 022an n (n 1) 2_2_2222Sn a1 a2 a3L an1 221 3222L n2(n 1)2n2(2)用裂项相消法求多项式数列前n项和。即形如anbm 1nmibm 2nm 2Lbin b0的数列求前n项和。
5、此类型可设an (cmnm Cmnm1 L 金)Cm(n 1)m Cm 1(n 1)m 1 L G(n 1)m 1m 2bm 1nbm 2nb1n b0上边化简对应系数相等得到一个含有m元一次方程组。说明：解这个方程组采用代入法，不难求。系数化简可以用二项式定理，这里不解释。解出C1,C2,L ,cm。再裂项相消法 用易知Sn cmnm Cmnm 1 L 01n例2:已知数列an的通项公式为ann3,解:设 an (An4 Bn3 Cn2A(4 n34An33 n6n2(6A4n 1)3B)n2Dn)B(3n2(4 AanSn4A6A4A(1n443B3B02C1 3-n2n(n221 221
6、)1n2)4(n2232求它的前n项和Sn。A(n 1)4 B(n3n3B14121401) C(2n2C)n1)31)2C(n 1)2DD)D(n 1)1(n421)n1)41n1)31)2n(n221)(n 1)n22n(n 1)2二、多项式数列与等比数列乘积构成的数列。(1)用裂项相消法求等比数列前 n项和。即形如anaq的数列求前n项和。这里不妨设时为常数列，前n项和显然为Snan )此类型可设an Aqn Aqn1A n,则有 an (A -)qn qaqn ,从而有A a, Aq-aq-。再用裂项 q 1相消法求得SnAqn A例3:已知数列an的通项公式为an3n ,求它的前n项
7、和Sn。解：设an如 n 如 n 1Aq Aq ,则有 an2 A n ng3 3 ,从而有A33 二3n 1一,故 an22Sna11 zo2a? a3 Lan(32n 1 n.1 n 133 ) (323)(2)用裂项相消法求等差数列与等比数列乘积构成的数列前n项和。即形如an (anb)qn的数列求前n项和。此类型通常的方法是乘公比错位错位相减法，其实也可以用裂项相消法。这里依然不妨设(q 1时为等差数列，不再赘述。)可设 an (An B)qn A(n 1) Bqn 1,则有 an (Aq A)n Bq A B)qn 1(aqn bq)q1从而得到方程组(Aq A) aq ,继而解出A
8、, Bo再用裂项相消法求得Sn (An B)qn B Bq A B bq例4:已知数列an的通项公式为an解：设an(AnnB)3A(n1)nn 3nB3求它的前n项和Sn。则有an2An2B A)3n1 3n 3n 1,从而得到方程组2A2B解得3234an2n 142n 3 n3422Sn a1 a2 a3 Lan33 3 34325 333 32_n1_n1_n1-(2n1) 3(2n3) 3 一(2n1) 334n项和。(3)用裂项相消法求多项式数列与等比数列乘积构成的数列前即形如an (bm 1nm 1 bm 2nm 2 L b1n b0)qn的数列求前n项和。此类型有一个采用 m次
9、错位相减法的方法求出，但是当次数较高时错位相减法的优势就完全失去了。同样这里依然不妨设 q 1,(q 1时为多项式数列，不再赘述。)下面介绍错位相减法的方法：设 an (Bm 1nm 1 Bm 2nm 2先对上式化简成an (Cm 1nmiL Bn B)qn 回小 1)m1 Bm2(n 1)m2 LB1(n 1) B0)qn1。Cm 2nm 2 L来表示的一次式子。同样让对应系数相等得到一个用裂项相消法求得 Sn (Bm 1nm 1例5:已知数列 an的通项公式为Bm2an?n2n2n解：设an2(An BnC)2n A(n1)2B(n从而得到Sa1(n22Aa22na3Lan 2 223)2
10、n 1 6事实上裂项求和适合用于所有能将C1n C0)qn 的形式，其中 C0,C1,L Cm1 是用 Bd,Bi,L Bm1,qm元一次方程组，用代入法可以解出B0,B1,L Bm1再用LBn B)qn B。,求它的前n项和Sn。1) C)2n 1,24 ,所以工 (n262 3 232 22 Lan化成anf (n)式上相似性，从而利用待定系数法的方式得到2_n1_2_n1则有 3 (An (2A B)n ( A B C)2 2n 2n2n 3)2 1 (n 1)2 2(n 1) 3)2(n2 2n 3)2n 1 (n 1)2 2(n 1) 3)2nf (n 1)形式的所有数列anf (n
11、)与an存在形f (n)的表达式，最终可以得到分可用倒叙相加法的数列不能使用此法是因为它没有一个统一形式不带省略号的前 数列n1也不能用此法，事实上调和数列 n1是不可求前n项和的数列。四、结论。Snf(n) f (0) o 这里部n项和公式。例如调和从上面的论断不难得出 裂项相消法，适合所有可求前 n项和的数列。不愧为数列求前 n项和的万能方法。不过值得肯定的是有部分数列利用裂项相消法，不易找出它的裂项方法，尤其是与指数函数，对数函数，三角函数这些比较高级的基本初等函数相关的初等函数。对于前两个大点得出的结论，我们当然也可以使用待定系数法来求 Sn,只是不要忘记它们都是用裂项相消法证明出来的
12、结论。结论也可以使用，从而直接得出待定参数的值，但对记性的要求很高，这里就不再啰嗦。保留原来的参数得到例6:已知数列an的通项公式为ann(n3n 4”二一，求它的前n项和Sn 。1)(n 2)解：设anAnn(n 1)A(n 1) B(n 1)(n 2)则an(An B)(n 2) n(An A B)n(n1)(n 2)An 2Bn(n 1)(n 2)An 所以一An n(n ,i 2B1)(n 2)3n 4n(n 1)(n 2)2B3n 23n 1n(n 1) (n 1)(n 2)Snaia2 a3L例7:解:例8:解:(n已知数列anSn3n 11 an 1 22 n3nn(n 1)3n 1(n 1)(n2)3n1)(n 2) 2(n 1)(n 2)an的通项公式
