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1、北师大版2019-2020学年数学精品资料第1课时空间图形基本关系的认识与公理13核心必知1空间图形的基本位置关系点2空间图形的3条公理文字语言图形语言符号语言公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)若A、B、C三点不共线，则存在唯一一个平面使A，B，C续表文字语言图形语言符号语言公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)若Al，Bl，且A，B，则公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若A，A，且与不重合，则l，且Al问题思考1三点确定一个平面吗？提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面
2、，当三点不在同一条直线上时，确定一个平面2三条两两相交的直线，可以确定几个平面？提示：若三条直线两两相交于一点时，则可以确定一个或三个平面；若相交于三个交点时，则可以确定一个平面讲一讲1如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交求证：a，b，c三线共面尝试解答证明：bc，直线b与c确定一个平面.如图，令abA，acB，A，B，AB.即a，a，b，c三线共面证明点线共面的常用方法：纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合练一练1已知abc，laA，lbB，lcC，求证：直线a，b，c和l共面证明
3、：ab，直线a与b确定一个平面，设为，如图laA，lbB，Aa，Bb，则A，B.而Al，Bl，由公理2可知：l.bc，直线b与c确定一个平面，设为，同理可知l.平面和平面都包含直线b与l，且lbB，又经过两条相交直线，有且只有一个平面，平面与平面重合，直线a，b，c和l共面.讲一讲2. 已知ABC在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R三点共线尝试解答证明：法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知，点P在平面ABC与平面的交线上同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上，P，Q，R三点共线法二：APARA，直线AP与直线AR
4、确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.又Q直线BC，Q平面APR.又Q，QPR.P，Q，R三点共线证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点在其上练一练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线证明：D1平面ABC1D1，D1平面A1D1CB，B平面ABC1D1，B平面A1D1CB，平面ABC1D1平面A1D1CBBD1.A1C平面ABC1D1Q，
5、且A1C在平面A1D1CB内，Q平面A1D1CB，Q平面ABC1D1，Q在两平面的交线BD1上，B，Q，D1三点共线.讲一讲3已知：平面，两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行求证：l1，l2，l3相交于一点尝试解答证明：如图，l1，l2，l3.l1，l2，且l1，l2不平行，l1与l2必相交设l1l2P，则Pl1，Pl2，Pl3，l1，l2，l3相交于一点P.证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点练一练3已知在正方体ABCDABCD中，如图，E
6、，F分别为AA，AB上的点(E，F不与A，B重合)且EFCD，求证：CF，DE，DA三线共点于P.证明：由EFCD知E，F，C，D四点共面因为E，F不与A，B重合，所以EFCD，即四边形EFCD为梯形设DECFP，DE平面AADD，PDE，P平面AADD.又CF平面ABCD，PFC，P平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AADD的公共点又平面ABCD平面AADDAD，PAD，即CF，DE，DA三线共点于P.已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？错解A，B，C，D共面，点A在点B，C，D所确定的平面内点B，C，D，E四点
7、共面，点E也在点B，C，D所确定的平面内，点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，即点A，B，C，D，E一定共面错因在证明共面问题时，必须注意平面是确定的上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错也即题知条件由B，C，D三点不一定确定平面，因此就使得五点的共面失去了基础正解A，B，C，D，E五点不一定共面(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面，由题设知A，E，故A，B，C，D，E五点共面于；(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若Al，El，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A
8、，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面1下列图形中不一定是平面图形的是()A三角形 B菱形C梯形 D四边相等的四边形解析：选D四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形2(重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)解析：选A如图所示的四面体ABCD中，设ABa，则由题意可得CD，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a0.取CD中点E
9、，连接AE，BE，则AECD，BECD且AEBE ，显然A、B、E三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2a，解得0a.3下列四个命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合两条直线可以确定一个平面若M，M，l，则Ml空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内A1B2 C3D4解析：选A两个平面有三个公共点时，两平面相交或重合，错；两条直线异面时不能确定一个平面，错；空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，错只有对4 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与
10、B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与D1C的位置关系是_；(4)直线AB与B1C的位置关系是_答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面5若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是_解析：两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能答案：平行、相交或异面6证明：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面证明：设这两两相交且不共点的三条直线分别为l1，l2，l3，且l1l2A，l2l3B，l1l3C(如图所示)l1与l2相交，l1与l2确定一平面.Bl2，Cl1，B，C，又Bl3，Cl3，l3，即两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
11、一、选择题1如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()AA，B，C，D四点中必有三点共线BA，B，C，D四点中不存在三点共线C直线AB与CD相交D直线AB与CD平行解析：选B若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面2若点A在直线b上，b在平面内，则A，b，之间的关系可以记作()AAb，b BAb，bCAb，b DAb，b解析：选B点A在直线b上，Ab，又直线b在平面内，b，Ab，b.3如图，平面平面l，点A，点B，且点C，点Cl.又ABlR，设A，B，C三点确定的平面为，则是()A直线
12、AC B直线BCC直线CR D直线AR解析：选CC平面ABC，AB平面ABC，而RAB，R平面ABC.而C，l，Rl，R，点C，点R为两平面ABC与的公共点，CR.4平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A3 B4 C5 D6解析：选C与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条5在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()AM一定在直线AC上BM一定在直线BD上CM可能在AC上，也可能在BD上DM不在AC上，也不在BD上解析：选A因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上二、填空题6空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为_解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面答案：1或47 如图，在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BM是异面直线；CN与BE是异面直线；DN与BM是异面直线以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：观察图形可知错误，正确答案：8有下面几个说法：如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；
