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1、 6圆锥曲线1(20xx苏州期末)如图，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点P(2，1)(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过点P作两条直线分别交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线PQ平分APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值解(1)由e，得abc21，椭圆C的方程为1.把P(2，1)代入，得b22，所以椭圆C的方程是1.(2)由已知得PA，PB的斜率存在，且互为相反数设直线PA的方程为y1k(x2)，其中k0.由消去y，得x24kx(2k1)28，即(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)280，因为该方程的两根为2，xA
2、，所以2xA，即xA，从而yA.把k换成k，得xB，yB.故kAB，是定值2(20xx常州期末)已知圆C：(xt)2y220(t0)与椭圆E：1(ab0)的一个公共点为B(0，2)，F(c,0)为椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B.(1)求t的值以及椭圆E的方程；(2)过点F任作与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于M，N两点，在x轴上是否存在一定点P，使PF恰为MPN的平分线？解(1)由题意得b2.因为C(t,0)，B(0，2)，所以BC，所以t4.因为t0，所以t4.因为BCBF，所以20c24(c4)2，所以c1，所以a2b2c25.所以椭圆E的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N
3、(x2，y2)，设l：yk(x1)(k0)，代入1，化简得(45k2)x210k2x5k2200，所以若点P存在，设P(m,0)，由题意kPMkPN0，所以0，所以(x11)(x2m)(x21)(x1m)0，即2x1x2(1m)(x1x2)2m2(1m)2m0，所以8m400，所以m5.所以存在定点P(5,0)，使PF恰为MPN的平分线3(20xx无锡期末)已知椭圆1，动直线l与椭圆交于B，C两点(点B在第一象限)(1)若点B的坐标为，求OBC面积的最大值；(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，且3y1y20，求当OBC的面积最大时直线l的方程解(1)直线OB方程为yx，即3x2y0，设
4、过点C且平行于OB的直线l方程为yxb.则当l与椭圆只有一个公共点时，OBC的面积最大由消去y整理得3x23bxb230，此时9b212(b23)，令0，解得b2，当b2时，C；当b2时，C，所以OBC面积的最大值为.(2)显然，直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为xmyn.由消去x并整理得(3m24)y26mny3n2120，所以因为3y1y20，所以从而，即n2，所以SOBC|n|y1y2|2|n|y1|.因为B在第一象限，所以x1my1nn0，所以n0.因为y10，所以m0，所以SOBC，当且仅当3m，即m时取等号，此时n，所以直线l的方程为xy，即yx.4(20xx南京、盐城二模)如图
5、，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率过点T(1,0)作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于M，N两点，求的值；(3)记直线l与y轴的交点为P，若，求直线l的斜率k.解(1)由点(b,2e)在椭圆C上，得1.因为e21，所以.又b2a28，解得b24，所以椭圆C的标准方程是1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由对称性知N(x0，y0)，其中y10.因为MNAB，所以.直线AB的方程为yk(x1)，直线MN的方程为ykx，其中k0.由消去x，得(12k2)y22ky7k20，所以y1y2.由消去x，得(12k2)y28k2，所以y，从而得.(3)由，得x1(x21)由消去y，得(12k2)x24k2x2k280，所以x1x2，x1x2.又因为x1(x21)，所以x1，x2，从而.整理得50k483k2340，解得k22或k2(舍)因为k0，所以k.
