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1、导数的涵义及其应用的几点说明导数，既能深刻地表示函数变化的规律自然就成为研究函数的重要工具。下面就导数的概念及其在解题中的应用做一下详细的阐述，其中重点探讨一下函数的单调性、极值、凸凹性以它们的应用。一、 数的引入 导数是由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。又称变化率。如一辆汽车在10小时内走了600千米，它的平均速度是60千米小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x与时间t的关系为fxt，那么汽车在由时刻很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0到t1这段时
2、间内的运动变化情况，自然就把极限变到这段时间内的平均速度是，当与很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在到这段时间内的运动变化情况，自然就把极限 作为汽车在时刻的瞬时速度，这就是通常所说的速度。一般地，假设一元函数在点的附近内有定义，当自变量的增量时函数增量与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在点可导，记作，称之为f在点的导数或变化率。假设函数f在区间I的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作，称之为f的导函数，简称为导数，导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。函数在点的导数的几何意义：，表示曲线l在点的切线斜率。导数的符号有，等，通常用得
3、较多的是和。二、下面举几个求求导数的例子求导数的几种方法：1. 用定义：2. 有理运算： 3. 反函数：设函数在点可导，且，又在点附近严格单调且连续，那么其反函数在点可导，且4. 隐函数：5. 参数方程6. 对数方法： 7. 高阶导数：8. 不可导性 f(x)在x=x0处不连续 在x0处左右导数至少有一个不存在 左右导数存在但不相等9. 可导必可微 求导例解： 例一设求解：令令例二.设解：易求出用归纳法可证明：三、导数的应用1. 函数的单调性我们可以用初等代数的方法讨论函数的单调性，但是，由于方法的限制，这些讨论既不全面又不深入，并且计算烦琐不易掌握规律。这里导数为我们更广泛更深入地研究函数的
4、单调性提供了有利的工具。单调性的充要条件：定理1：假设函数在内可导，那么函数在内单调增加或单调减少的充要条件是：在内，或。定理2：严格单调的充分条件假设在区间内或，那么函数在内严格单调增加严格单调减少。定理3：设函数在内可导，那么函数在内严格单调增加或严格单调减少的充要条件是：假设非退化区间那么至少有一点，使。单调性判定定理的应用与单调区间的求法：前三个定理用导数刻画了函数的单调性要讨论函数的严格单调性，只需要求出该函数的导数，确定它的函数取正的区间和负的区间。实际上，只要求出这些函数的分界点。对于可导函数有定理：定理4：假设函数在内可导，为内的一点，在的符号与在内的相反，那么推论：假设函数在
5、内可导，其导数在内恒不为零，那么在内保持相同的符号。可导函数的严格单调区间的分界点应是方程的根，对于一般的函数严格单调区间的分界点，不是方程的根，就是导函数的根。根据以上定理可得，讨论函数的严格单调性的步骤是：（1） 确定函数的定义域；（2） 求导数，并求出的根及的根，并按从小到大的顺序排列.作为分界点；（3） 用分界点将定义域分成假设干个开区间，并确定在每个区间内的符号；（4） 假设在某区间内，那么在此区间内严格增加，否那么严格减少。例1. 讨论函数的单调性，并求出单调区间。解：函数的定义域为，对此函数求导，得：令，得。因为在内，故函数在是单调减少的。又因为在区间内，所以函数在内是单调增加的
6、。例2. 讨论函数的单调性。解：该函数的定义是的实数， 令得，它们将定义域分成四个开区间 ， 因为，于是 由定理2知，函数在区间与内严格增加；在区间与内严格减小。作表如下：+-+2. 函数的极值及判别法函数的极大与极小：一个连续函数，如果在以前是增大的，而以后是减小的，那么在这一点有一个极大值；反之一个连续函数，如果在以前是减小的，而以后是增大的，那么在这一点有一个极小值。函数的这种极大极小值，不管对研究函数的性质，还是解决某些实际问题，都是很有价值的。下面我们就来具体研究一下函数的极值问题。定理1：设函数在点可导，那么在取得极值的必要条件是。定理2：第一判别法设函数在点连续，在内可导，那么如
7、果在时，而在时，那么在点取得极大值；如果在时，而在时，那么在点取得极小值；如果在与时，有相同的符号，那么在点没有极值；定理3：第二判别法设为的稳定点且存在且不等于零，那么如果，那么在点取得极大值；如果，那么在点取得极小值。定理4：第三判别法如果在点的一阶，二阶，直到阶的导数都等于零，但，那么 当n为奇数时，在点没有极值； 当n为偶数时，假设 ，那么在点取得极小值；而当时，在点取得极大值。我们可以把求一个函数极值的方法归结为： 确定函数的定义域，求其导数； 令，求出函数的所有稳定点和导数不存在的点； 用第一准那么或第二准那么在所求的点中，判定出极大值点和极小值点； 求出函数所有极值点的函数值；就得到函数的各极值。例子：求函数的极值。解：的定义域是。的所有稳定点是用第一准那么列表如下：1+0-0+0+极大值点极小值点非极值点
