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1、勾股定理的逆定理1勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形(2)数学表达式：如图所示，在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，如果，则ABC为直角三角形，c边所对的角为直角，即C=90.知识点拓展：(1)运用勾股定理的逆定理可判定三角形是否为直角三角形，同时也可用来说明两直线是否垂直在运用时要注意两点：不能机械地认为RtABC中，c边所对的角是直角；a2b2是否与c2相等需要计算说明，不能一开始就用a2b2c2.(2)设三角形的三边长为a，b，c(c为最长边)若a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形；若a2b2c2，那么
2、这个三角形是锐角三角形；若a2b2c2，那么这个三角形是钝角三角形【例1】根据下列条件，判断ABC是不是直角三角形(1)a1，b1，c；(2)abc13125.分析：解决这类题要先找出最长边，并算出它的平方，再算出两条较短边的平方和，然后判断最长边的平方是否等于两条较短边的平方和解：(1)最长边是c，则c26.a2b2(1)2(1)232326，c2a2b2.ABC是直角三角形(2)设a13k，b12k，c5k(k0)，最长边是a13k，则a2(13k)2169k2.b2c2(12k)2(5k)2169k2，a2b2c2.ABC是直角三角形 (1)ABC的三边a，b，c中的任意一边都可以是斜边
3、，不要受思维定式的影响，总认为c是最长边，其实应根据已知条件确定最长边(2)如果三角形三边的比是勾股数的比，那么这个三角形是直角三角形(3)设常数k是转化比例关系的常用方法，应熟练掌握2勾股数若三个数为勾股数，则它们必须同时满足两个条件：(1)能够成为直角三角形三条边的长度；(2)三个数都是正整数这两个条件缺一不可根据“勾股数”的定义我们知道，“勾股数”指的是满足a2b2c2的三个正整数a，b，c，而有些同学误认为只要满足a2b2c2的三个数a，b，c即是勾股数，这是错误的，比如6,8,10，虽然满足(6)282102，但6,8,10不是勾股数【例2】张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下
4、数表：n2345a221321421521b46810c221321421521(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n1)的代数式表示：a_，b_，c_.(2)以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？分析：从表中的数据找到规律解：(1)n212nn21(2)以a，b，c为边长的三角形是直角三角形理由如下：a2b2(n21)24n2n42n214n2n42n21(n21)2c2，以a，b，c为边长的三角形是直角三角形3两点之间的距离公式在平面直角坐标系中有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点之间的距离|AB|，这就是两点之间的距离公式【例3】在平面直角坐
5、标系中有两点A(1,1)，B(1,3)，在x轴上找一点C，使ACBC，求点C的坐标分析：由于点C在x轴上，故可设点C的坐标为(x,0)，由于ACBC，故可根据两点间的距离公式列方程求解解：设C点的坐标为(x,0)ACBC，即(x1)21(x1)29，解得x2，故C点坐标为(2,0)若解为整数，用几何法在网格中可以确定C点坐标；若解为非整数，用几何法只能画出大概位置，不能用坐标准确定位，所以用两点间的距离公式列方程求解显得十分必要4运用勾股定理的逆定理判断直角三角形勾股定理的逆定理的主要作用是判断一个三角形是否是直角三角形，另外，还可以运用勾股定理的逆定理来判断一个角是否是直角，或判断两条直线是
6、否垂直三角形的三边长已知，需要判断一个三角形是否是直角三角形时，就要联想到是否用到勾股定理的逆定理【例4】如图所示，D是ABC的边BC上一点，已知AB13，AD12，AC15，BD5，试求ACD的面积解：因为AD2BD212252169，AB2132169，所以AD2BD2AB2，所以ABD是直角三角形，ADBC.在RtADC中，CD2AC2AD215212281，所以CD9，SADCADCD12954.5勾股定理及其逆定理的综合运用勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的重要依据，是运用直角三角形各种性质的先决条件，它体现了数形结合的重要数学思想勾股定理是以“一个三角形是直角三角形
7、”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系即“a2b2c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2b2c2”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判别一个三角形是否是直角三角形的一种方法【例5】如图所示，在ABD中，A是直角，AB3，AD4，BC12，DC13，DBC是直角三角形吗？为什么？解：DBC是直角三角形理由：在RtBAD中，根据勾股定理，得BD2AD2AB2423225，所以BD5.在DBC中，BD2BC225144169132CD2.由勾股定理的逆定理，得DBC是直角三角形6勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理在实际问题中有着广泛的应用，首先要根据题意，建立数
8、学模型，把实际问题转化为数学问题，进而得到三角形，然后由题目提供的信息找出相关数据，按照题目的要求来判断是否是直角三角形把实际问题转化为数学问题后，不要只从图形上就误认为三角形是直角三角形，而必须通过勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形，也就是进行计算求解【例6】如图，这是一个农民建房时的地基的平面图，按标准应为长方形他在挖完后测量了一下，发现ABDC8 m，ADBC6 m，AC9 m，请问：该农民挖的地基是否合格？解：在ADC中，AD6 m，DC8 m，AD2DC26282100.AC29281，AD2DC2AC2，ADC不是直角三角形，ADC不是直角而长方形的四个角都是直角，该农民挖的地
9、基不合格7勾股数及其确定方法设直角三角形的三边长为a，b，c，且斜边为c，由勾股定理得a2b2c2，这是构成直角三角形的等价条件，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，就称为勾股数常用勾股数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17；7,24,25；9,40,41等勾股数一定是正整数，如1.5，2,2.5这三个数虽然能构成直角三角形的三边，但是这三个数并不是勾股数对于大于2的任意偶数2n(n是大于1的正整数)，都可以与n21，n21构成一组勾股数，如3,4,5；6,8,10；8,15,17；任意一个大于1的奇数2n1(n是正整数)都可以与2n22n,2n22n1构成一组勾股数，如3,4,5；5,12,13；7,24,25；.【例71】已知：数7和24，请你再写一个整数，使这些数恰好是一个直角三角形三边的长，则这个数可以是_答案：25【例72】所谓的勾股数就是使等式a2b2c2成立的任何三个正整数我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m，n(mn)，取am2n2，b2mn，cm2n2，则a，b，c就是一组勾股数请你结合这种方法，写出85(三个中最大),84和_组成一组勾股数答案：13
