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1、最新北师大版数学精品教学资料1.2 充分条件与必要条件课题充分条件和必要条件教学目标1） 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；2） 会判断充分条件，必要条件和充要条件3） 从集合的观点理解充要条件。4） 会证明简单的充要条件的命题。重 点充分条件，必要条件和充要条件的判断难 点充要条件的理解和充要条件的命题的证明。【知识点梳理】1、命题“若p则q”为真，记作pq；“若p则q”为假，记作“p q”. 2、充分与必要条件：如果已知pq，则称p是q的充分条件，而q是p的必要条件.如果既有pq，又有qq，即pq,则称p是q的充要条件.3、充分、必要条件与四种命题的关系：如果p是q的充分条件，则原命
2、题“若p则q”以及逆否命题“若 p则 q”都是真命题.如果p是q的必要条件，则逆命题“若q则p”以及否命题“若 p则 q”为真命题.如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题。4、充要条件的判断方法：四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法，集合思想）；确定条件是结论的什么条件.【典型例题分析】例1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）是的_条件；（2）是的_条件；（3）是的_条件；（4）是或的_条件.分析：从集合观点“小范围大
3、范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若，有，但不成立，所以是的充分不必要条件.（2）因为的解集为，的解集为，故是的必要不充分条件.（3）当时，均不存在；当时，取，但，所以是的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“且是的_条件”，故是或的充分不必要条件.点评：判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不
4、必要条件.在判断时注意反例法的应用.在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.例2.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则p是s的_条件.分析：将各个命题间的关系用符号连接，易解答.s解： 故p是s的的充要条件.点评：将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用.例3.已知，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.分析：若是的必要不充分条件等价其逆否形式，即是的必要不充分条件.解：由题知：，是的必要不充分条件，是的必要不充分条件.，即得.故m的取值范围为.点评：对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集
5、合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：若集合，则是的充分条件；若集合，则是的必要条件；若集合，则是的充要条件例4.求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性证明：必要性：若是方程的根，求证：是方程的根，即充分性：关于x的方程的系数满足，求证：方程有一根为1，代入方程得：，得，是方程的一个根故原命题成立点评：在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：充分性和必要性，缺一不可【小结】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合，则是的充分条件；若集合，则是的必
6、要条件；若集合，则是的充要条件3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力【课堂练习】【基础达标】1.若，则是的充分条件若，则是的必要条件若，则是的充要条件2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知，那么是的_充分不必要_条件（2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的_充要_条件 （3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的_必要不充分 条件（4）已知，那么是的_必要不充分_条件 3.函数过原点的充要条件是4.对任意实数a，b，c，给出下列命题：“”是“”充要条件；“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；“ab”是“a2b2”
7、的充分条件； “a5”是“a3”的必要条件.其中真命题的序号是_5.若，则的一个必要不充分条件是【能力提高】必要不充分6设集合，则“”是“”的_条件7已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题：是的充要条件；是的充分条件而不是必要条件；是的必要条件而不是充分条件； 的必要条件而不是充分条件；是的充分条件而不是必要条件，其中正确命题序号是_8已知条件，条件若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：，若是的充分不必要条件，则若，则，即；若，则解得综上所述，【探究创新】 9已知关于x的方程，求： （1）方程有两个正根的充要条件； （2）方程至少有一个正根
8、的充要条件解：（1）方程有两个正根的充要条件设此时方程的两实根为，则，的正数的充要条件是综上，方程有两个正根的充要条件为或（2）方程有两个正根，由（1）知或当时，方程化为，有一个正根方程无零根，故方程有一正根，一负根的充要条件是即综上，方程至少有一正根的充要条件是或【课后作业】1设集合，则“”是“”的_必要不充分充分不必要条件2已知p：1x2，q：x(x3)0，则p是q的 条件3设，是定义在R上的函数，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的_充分不必要_条件 4已知，则是的_必要不充分_条件 5集合Ax|0，Bx | x b|a，若“a1”是“AB”的充分条件，则b的取值范围是6有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题： 的充要条件是card= card+ card； 的必要条件是cardcard； 的充分条件是cardcard； 的充要条件是cardcard.其中真命题的序号是_ 7已知函数，求证：函数是偶函数的充要条件为证：充分性：定义域关于原点对称，所以，所以为偶函数必要性：因为是偶函数，则对任意x有，得，即，所以综上所述，原命题得证作业
